2017年 1月 15日 后缀数组 学习整理
写在前面
在字符串处理当中，后缀树和后缀数组都是非常有力的工具。
其中后缀树大家了解得比较多，关于后缀数组则很少见于国内的资料。
其实后缀数组是后缀树的一个非常精巧的替代品，它比后缀树容易编程实现，
能够实现后缀树的很多功能而时间复杂度也不太逊色，并且，它比后缀树所占用的空间小很多。
可以说，在信息学竞赛中后缀数组比后缀树要更为实用！
因此在本文中笔者想介绍一下后缀数组的基本概念、构造方法，
以及配合后缀数组的最长公共前缀数组的构造方法，最后结合一些例子谈谈后缀数组的应用。
一.
学习后缀数组需要认识几个概念：
子串
字符串S的子串r[i..j]，i<=j，表示S串中从i到j这一段，就是顺次排列r[i],r[i+1],...,r[j]形成的子串。
后缀
后缀是指从某个位置 i 开始到整个串末尾结束的一个特殊子串。字符串r的从第i个字符开始的后缀表示为Suffix(i)，
也就是Suffix(i)=S[i...len(S)-1] 。
后缀数组(SA[i]存放排名第i大的后缀首字符下标)
后缀数组 SA 是一个一维数组，它保存1..n 的某个排列SA[1] ，SA[2] ，...,SA[n] ，
并且保证Suffix(SA[i])<Suffix(SA[i+1])， 1<=i<n 。
也就是将S的n个后缀从小到大进行排序之后把排好序的后缀的开头位置顺次放入SA 中。
名次数组（rank[i]存放suffix(i)的优先级）
名次数组 Rank[i] 保存的是 Suffix(i) 在所有后缀中从小到大排列的“名次”
注：这个是排序的关键字~（这句话是我们排序的重点）
(我的理解):
sa[i]:保存的是S字符串的所有后缀在以字典序排序后，排在第i名的字符串在原来子串中的位置。
rank[i]:保存的是S字符串的所有后缀在以字典序排序后，原来的第i名现在排第几。
简单的说，后缀数组（SA）是“排第几的是谁？”，名次数组（RANK）是“你排第几？”。
容易看出，后缀数组和名次数组为互逆运算。我们只要算出了sa数组，就可以在O(n)的时间复杂度内算出rank数组。
height数组：height[i]保存的是suffix(i)和suffix(i-1)的最长公共前缀的长度。也就是排名相邻的两个后缀的最长公共前缀。
二.
要构造Suffix Array,主要就是构造sa数组,rank数组和height数组。
首先来看一下如何构造sa数组：
构造sa数组的方法有三种：
1)倍增算法：O(nlongn)
2)DC3算法：O(n)
3)skew算法(不常用)
下面用草稿纸来模拟一遍：
例如：
aabaaaab
总共有n=8个后缀：
1: aabaaaab 2: abaaaab 3: baaaab 4: aaaab 5: aaab 6: aab 7: ab 8: b
按照字典序排序后
sa[ 1 ] = 4 aaaab sa[ 2 ] = 5 aaab sa[ 3 ] = 6 aab sa[ 4 ] = 1 aabaaaab
sa[ 5 ] = 7 ab sa[ 6 ] = 2 abaaaab sa[ 7 ] = 8 b sa[ 8 ] = 3 baaaab
rank数组为：
rank[1]=4 rank[2]=6 rank[3]=8 rank[4]=1 rank[5]=2 rank[6]=3 rank[7]=5
rank[8]=7
height数组为：
height[ 1 ]=null height[ 2 ]= 3 height[ 3 ]= 2 height[ 4 ]= 3 height[ 5 ]= 1
height[ 6 ]= 2 height[ 7 ]= 0 height[ 8 ]= 1
因此，所有子串的最长公共子串就是3.
这里给出一个理解程序：
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <map>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
using namespace std;
const int MAXN=100010;
int wa[MAXN],wb[MAXN],wv[MAXN],ws[MAXN];
int cmp(int *r,int a,int b,int l) {
return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];
}
void da(const char *r,int *sa,int n,int m) {
int i,j,p,*x=wa,*y=wb,*t;
for(i=0;i<m;i++) ws[i]=0;
for(i=0;i<n;i++) ws[x[i]=r[i]]++;
for(i=1;i<m;i++) ws[i]+=ws[i-1];
for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--ws[x[i]]]=i;
for(j=1,p=1;p<n;j*=2,m=p) {
for(p=0,i=n-j;i<n;i++) y[p++]=i;
for(i=0;i<n;i++) if(sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;
for(i=0;i<n;i++) wv[i]=x[y[i]];
for(i=0;i<m;i++) ws[i]=0;
for(i=0;i<n;i++) ws[wv[i]]++;
for(i=1;i<m;i++) ws[i]+=ws[i-1];
for(i=n-1;i>=0;i--) sa[--ws[wv[i]]]=y[i];
for(t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1; i<n; i++)
x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++;
}
return;
}
int sa[MAXN],Rank[MAXN],height[MAXN];
void calheight(const char *r,int *sa,int n) {
int i,j,k=0;
for(i=1;i<=n;i++) Rank[sa[i]]=i;
for(i=0;i<n;height[Rank[i++]]=k)
for(k?k--:0,j=sa[Rank[i]-1]; r[i+k]==r[j+k]; k++);
// Unified
for(int i=n; i>=1; --i) ++sa[i],Rank[i]=Rank[i-1];
}
int main() {
while(scanf("%s",str)!=EOF) {
int len=strlen(str);
da(str,sa,len+1,130);
calheight(str,sa,len);
for(int i=1; i<=len; i++) {
printf("%d:\t",i);
for(int j=i-1; j<len; j++)
printf("%c",str[j]);
puts("");
}
puts("");
puts("----After sort---");
for(int i=1; i<=len; i++) {
printf("height[%2d ] = %2d \n",i,height[i]);
}
puts("");
puts("---Rank---");
for(int i=1; i<=len; i++)
printf("Rank[%2d ] = %2d\n",i,Rank[i]);
puts(---End---);
}
}
鸣谢：感谢来自博客：http://www.cnblogs.com/crazyacking/p/3988683.html的资料
算法中用到了基数排序，不会的自学
