求LCA最近公共祖先的在线ST算法_C++
ST算法是求最近公共祖先的一种 在线 算法，基于RMQ算法，本代码用双链树存树
预处理的时间复杂度是 O(nlog2n) 查询时间是 O(1) 的
另附上离线算法 Tarjan 的链接：
首先预处理出深度，以及 DFS 序，这里的DFS序是指回溯时也算上，比如：
1 void dfs(int x,int dep)
2 {
3 int i;
4 d[x]=dep;
5 a[++top]=x;
6 for (i=down[x];i!=0;i=next[i])
7 {
8 dfs(i,dep+1);
9 a[++top]=x;
10 }
11 }
然后记录每个节点在 DFS 序中第一次出现的位置，b[i] 为第 i 号节点第一次出现的位置
1 for (i=1;i<=top;i++) if (b[a[i]]==0) b[a[i]]=i;
开始 DP 处理区间区间内最小值，这里使用 RMQ 算法，其功能类似于线段树或树状数组
f[i][j] 表示从第 i 位开始，连续 2j 个数的最小值，状态转移：
1 f[i][j]=min(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1])
因为它是 2 的幂次方的状态，所以每次转移可以看做把当前状态分为两个相等的部分，求两部分的最小值
如： 5 7 3 2 和 4 6 1 5
min=2 min=1
即 f[1][2]=2 f[5][2]=1
所以 f[1][3]=min(f[1][2],f[5][2])=1
初始状态：f[i][0]=d[a[i]] loc[i][0]=a[i]
注意这里 f 记录的是它的深度的最小值，而位置用 loc 记录
1 void init()
2 {
3 int i,j,s,x,k;
4 for (i=1;i<=top;i++)
5 {
6 f[i][0]=d[a[i]];
7 loc[i][0]=a[i];
8 }
9 s=log2(top);
10 for (j=1;j<=s;j++)
11 {
12 k=top-(1<<j)+1;
13 for (i=1;i<=k;i++)
14 {
15 x=i+(1<<(j-1));
16 if (f[i][j-1]<=f[x][j-1])
17 {
18 f[i][j]=f[i][j-1];
19 loc[i][j]=loc[i][j-1];
20 }
21 else
22 {
23 f[i][j]=f[x][j-1];
24 loc[i][j]=loc[x][j-1];
25 }
26 }
27 }
28 }
代码用变量优化了一下常数
接着开始进行询问
读入两个节点，查询它们第一次出现的位置
在这两个位置之间的区间查询最小深度的节点，该节点即为最近公共祖先
查询区间时，我们把它分成两个部分，可以有重叠，如
8 9 6 5 6 8 4
这7个节点，把它分成： 8 9 6 5 和 5 6 8 4
min=5 min=4
则最小值为 min(5,4)=4
1 min(f[x][log2(y-x)],f[y-(1<<i)+1][log2(y-x)]);
可以这样理解：
将两个位置的距离取个对数记为 i，然后从最左边，往后共 2i 个数的最小值，这是第一部分
第二个部分是从右边往左推 2i 个数，即 y-2i+1，然后再往后取 2i 个数
成功将区间分为两部分
1 scanf("%d",&t);
2 while (t>0)
3 {
4 t--;
5 scanf("%d%d",&x,&y);
6 x=b[x];
7 y=b[y];
8 if (x>y) swap(x,y);
9 i=log2(y-x);
10 k=y-(1<<i)+1;
11 printf("%d\n",f[x][i]<f[k][i]?loc[x][i]:loc[k][i]);
12 }
代码内有常数优化，有的地方思路可能不是很清晰，请谅解
给个完整代码
1 #include<cstdio>
2 #include<cstdlib>
3 #include<cstring>
4 #include<cmath>
5 #include<iostream>
6 #include<algorithm>
7 #define N 100001
8 using namespace std;
9
10 int a[N*2],d[N],down[N],next[N],top,f[2*N][18],loc[2*N][18],n,b[N];
11 int log2(int x)
12 {
13 int k=0;
14 while (x>1)
15 {
16 x/=2;
17 k++;
18 }
19 return k;
20 }
21 void dfs(int x,int dep)
22 {
23 int i;
24 d[x]=dep;
25 a[++top]=x;
26 for (i=down[x];i!=0;i=next[i])
27 {
28 dfs(i,dep+1);
29 a[++top]=x;
30 }
31 }
32 void init()
33 {
34 int i,j,s,x,k;
35 for (i=1;i<=top;i++)
36 {
37 f[i][0]=d[a[i]];
38 loc[i][0]=a[i];
39 }
40 s=log2(top);
41 for (j=1;j<=s;j++)
42 {
43 k=top-(1<<j)+1;
44 for (i=1;i<=k;i++)
45 {
46 x=i+(1<<(j-1));
47 if (f[i][j-1]<=f[x][j-1])
48 {
49 f[i][j]=f[i][j-1];
50 loc[i][j]=loc[i][j-1];
51 }
52 else
53 {
54 f[i][j]=f[x][j-1];
55 loc[i][j]=loc[x][j-1];
56 }
57 }
58 }
59 }
60 int main()
61 {
62 int i,k,x,y,t;
63 scanf("%d",&n);
64 for (i=1;i<=n;i++) down[i]=d[i]=next[i]=0;
65 for (i=1;i<=n;i++)
66 {
67 scanf("%d",&x);
68 next[i]=down[x];
69 down[x]=i;
70 }
71 top=0;
72 dfs(down[0],1);
73 for (i=1;i<=top;i++) if (b[a[i]]==0) b[a[i]]=i;
74 init();
75 scanf("%d",&t);
76 while (t>0)
77 {
78 t--;
79 scanf("%d%d",&x,&y);
80 x=b[x];
81 y=b[y];
82 if (x>y) swap(x,y);
83 i=log2(y-x);
84 k=y-(1<<i)+1;
85 printf("%d\n",f[x][i]<f[k][i]?loc[x][i]:loc[k][i]);
86 }
87 return 0;
88 }
