网络流解线性规划问题 BZOJ1061: [Noi2008]志愿者招募
线性规划定义:
在给定有限的资源和竞争约束情况下,很多问题都可以表述为最大化或最小化某个目标。如果可以把目标指定为某些变量的线性函数,而且如果可以将资源约束指定为这些变量的等式或不等式,则得到了一个线性规划问题。
对于一些线性规划问题,我们通常能够转化成 每个变量的都出现两次,且系数分别为+1和-1。
就是这样的模型,我们可以用网络流的方法巧妙的解决。
首先网络流有性质:对于除了源点和汇点的其他点,有 流入的总量等于流出的总量。
这让我们有一个思路,把点当成每一个方程,把边看成给予限制的变量,对于每个变量,把+1看成流出-1看成流入,找到对应方程的位置连边。
如果给出的是线性不等式,就加上一个变量将其转化为线性等式。
看一道例题:BZOJ1061: [Noi2008]志愿者招募
Description
申奥成功后,布布经过不懈努力,终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难
题:为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算,这个项目需要N 天才能完成,其中第i 天至少需要
Ai 个人。 布布通过了解得知,一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天,招募费用
是每人Ci 元。新官上任三把火,为了出色地完成自己的工作,布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者,但这
并不是他的特长!于是布布找到了你,希望你帮他设计一种最优的招募方案。
设第i类志愿者招募xi个。
于是可以列出方程:
$\begin{matrix}
xi\ge 0\\
x1\ge 2\\
x1+x2\ge 3\\
x2+x3\ge 4\\
\end{matrix}$
xi\ge 0\\
x1\ge 2\\
x1+x2\ge 3\\
x2+x3\ge 4\\
\end{matrix}$
但是这个东西是不等式,于是加入一个变量y使得方程变为线性等式。
$\begin{matrix}
xi\ge 0\\
yi\ge 0\\
x1= y1\\
x1+x2= y2+3\\
x2+x3= y3+4\\
\end{matrix}$
xi\ge 0\\
yi\ge 0\\
x1= y1\\
x1+x2= y2+3\\
x2+x3= y3+4\\
\end{matrix}$
此时变量出现次数不对,考虑每个变量出现都是一段连续的区间,那么我们差分一下,就变成每个变量只出现两次并且一次系数为+1一次系数为-1。
注意最后一行也要差分,就是说现在多了一个方程,这样:
$\begin{matrix}
xi\ge 0\\
yi\ge 0\\
x1-y1= 0\\
x2-y2+y1-3= 0\\
x3-x1-y3+y2= 0\\
-x2-x3-y4+y3=0
\end{matrix}$
$\begin{matrix}
xi\ge 0\\
yi\ge 0\\
x1-y1= 0\\
x2-y2+y1-3= 0\\
x3-x1-y3+y2= 0\\
-x2-x3-y4+y3=0
\end{matrix}$
于是建图就比较清晰了。
n+1个方程当做点。对于变量xi,从系数为+1的方程向系数为-1的方程连(inf,a[i])的边。
其中括号前面表示容量,后面表示费用,即S[i]->T[i]+1(inf,a[i])
对于变量yi,和xi差不多,也是从系数为+1的方程向系数为-1的方程连(inf,0)的边,
即i+1->i(inf,0)
对于常数项,若该常数项系数为正,则从S向其连边,容量为c[i]-c[i-1],否则从i向T连边,容量为c[i-1]-c[i]。
然后跑最小费用最大流即可。
总结一下建图吧,当我们把方程化成适合网络流求解的形式后,只需要把系数为+1的方程向系数为-1的方程连边即可。
代码:
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using namespace std; #define N 10050 #define M 100050 #define S (10049) #define T (10048) #define inf (1<<30) int head[N],to[M],nxt[M],flow[M],val[M],cnt=1,path[N],Q[N],l,r,dis[N],inq[N],n,m,a[N],c[M],s[N],t[N]; inline void add(int u,int v,int f,int w) { to[++cnt]=v; nxt[cnt]=head[u]; head[u]=cnt; flow[cnt]=f; val[cnt]=w; to[++cnt]=u; nxt[cnt]=head[v]; head[v]=cnt; flow[cnt]=0; val[cnt]=-w; } bool spfa() { memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); memset(path,0,sizeof(path)); l=r=0; Q[r++]=S; dis[S]=0; inq[S]=1; while(l!=r) { int x=Q[l++],i; if(l==n+10) l=0; inq[x]=0; for(i=head[x];i;i=nxt[i]) { if(flow[i]&&dis[to[i]]>dis[x]+val[i]) { dis[to[i]]=dis[x]+val[i]; path[to[i]]=i^1; if(!inq[to[i]]) { Q[r++]=to[i]; if(r==n+10) r=0; inq[to[i]]=1; } } } } return path[T]; } void mcmf() { int minc=0,maxf=0; while(spfa()) { int nf=1<<30,i; for(i=T;i!=S;i=to[path[i]]) { nf=min(nf,flow[path[i]^1]); } for(i=T;i!=S;i=to[path[i]]) { flow[path[i]]+=nf; flow[path[i]^1]-=nf; minc+=nf*val[path[i]^1]; } maxf+=nf; } printf("%d\n",minc); } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); int i; for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&c[i]); add(i+1,i,inf,0); } for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%d%d%d",&s[i],&t[i],&a[i]); add(s[i],t[i]+1,inf,a[i]); } for(i=1;i<=n+1;i++) { if(c[i]-c[i-1]>0) { add(S,i,c[i]-c[i-1],0); }else { add(i,T,c[i-1]-c[i],0); } } mcmf(); }