BZOJ_1712_[Usaco2007 China]Summing Sums 加密_矩阵乘法

BZOJ_1712_[Usaco2007 China]Summing Sums 加密_矩阵乘法

Description

    那N只可爱的奶牛刚刚学习了有关密码的许多算法，终于，她们创造出了属于奶牛的加密方法．由于她们并不是经验十足，她们的加密方法非常简单：第i只奶牛掌握着密码的第i个数字，起始的时候是Ci(0≤Ci<90000000).加密的时候，第i只奶牛会计算其他所有奶牛的数字和，并将这个数字和除以98765431取余．在所有奶牛计算完毕之后，每一只奶牛会用自己算得的数字代替原有的数字．也就是说，

这样，她们就完成了一次加密．    在十一月，奶牛们把这个加密法则告诉了驼鹿卡门，卡门惊呆了．之后，在一个浓雾弥漫的平安夜，卡门与奶牛们：“你们的算法十分原始，很容易就被人破解．所以你们要重复这个加密过程T(1≤T≤1414213562)次，才能达到加密效果．”    这回轮到奶牛们惊呆了．很显然，奶牛们特别讨厌做同样的无聊的事情很多次．经过了漫长的争论，卡门和奶牛们终于找到的解决办法：你被刚来加密这些数字．

Input

    第1行输入N和T，之后N行每行一个整数表示初始的Ci．

Output

 

    共N行，每行一个整数，表示T次加密之后的Ci．

Sample Input

3 4
1
0
4

INPUT DETAILS:

Three cows, with starting numbers 1, 0, and 4; four repetitions of the
encryption algorithm.

Sample Output

26
25
29

OUTPUT DETAILS:

The following is a table of the cows' numbers for each turn:

Cows' numbers
Turn Cow1 Cow2 Cow3
0 1 0 4
1 4 5 1
2 6 5 9
3 14 15 11
4 26 25 29

HINT

 N<=50000

 

---

 

分析：

设初始时总和为$sum$,发现每次操作后$sum$会乘上$(n-1)$。

对于第$i$个奶牛，从$(\begin{matrix}c[i]&sum-c[i]\end{matrix})$ 到$(\begin{matrix}sum-c[i]&sum*(n-1)-sum+c[i]=sum*(n-2)+c[i]\end{matrix})$

得到转移矩阵$(\begin{matrix} 0&n-1\\1&n-2 \end{matrix})$

然后矩阵乘法即可。

 

代码：

 

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod=98765431,sum;
int n,t,a[50050];
struct Mat {
    ll v[2][2];
    Mat() { memset(v,0,sizeof(v));}
    Mat operator*(const Mat &x)const {
        Mat re;int i,j,k;
        for(i=0;i<2;i++) {
            for(j=0;j<2;j++) {
                for(k=0;k<2;k++) {
                    (re.v[i][j]+=v[i][k]*x.v[k][j])%=mod;
                }
            }
        }
        return re;
    }
};
Mat qp(Mat x,int y) {
    Mat I;
    I.v[0][0]=I.v[1][1]=1;
    while(y) {
        if(y&1ll) I=I*x;
        x=x*x;
        y>>=1ll;
    }
    return I;
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&t);
    Mat x; x.v[0][0]=0; x.v[0][1]=n-1; x.v[1][0]=1; x.v[1][1]=n-2;
    Mat T=qp(x,t);
    int i;
    for(i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%d",&a[i]);
        sum+=a[i];
    }
    for(i=1;i<=n;i++) {
        printf("%lld\n",(a[i]*T.v[0][0]%mod+(sum-a[i])%mod*T.v[1][0]%mod)%mod);
    }
}