一坨反演
二项式反演
首先有二项式定理，即\((x+y)^n=\sum\limits_{i=0}^{n}x^iy^{n-i}\binom{n}{i}\)。
进而\(\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=(1+(-1))^n=[n=0]\)。
已知\(f(n)=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}g(k)\)，求\(g(n)\)。
- \(g(n)=\sum\limits_{m=0}^n[n-m=0]\binom{n}{m}g(m)\)
- 代入，\(g(n)=\sum\limits_{m=0}^{n}\sum\limits_{k=0}^{n-m}(-1)^k\binom{n-m}{k}\binom{n}{m}g(m)\)
- \(\binom{n}{m}\binom{n-m}{k}=\binom{n}{k}\binom{n-k}{m}\)
- \(g(n)=\sum\limits_{m=0}^{n}\sum\limits_{k=0}^{n-m}(-1)^k\binom{n}{k}\binom{n-k}{m}g(m)\)
- \(g(n)=\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\sum\limits_{m=0}^{n-k}\binom{n-k}{m}g(m)\)
- \(g(n)=\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}f(n-k)\)
- \(g(n)=\sum\limits_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}f(k)\)
莫比乌斯反演
已知\(f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d)\)，求\(g(n)\)。
构造\(\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)
用\(\frac{n}{m}=1\)的性质代入即可。
得\(g(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)g(\frac{n}{d})\)
已知\(f(n)=\sum\limits_{n|d}g(d)\)，求\(g(n)\)。
\(g(n)=\sum\limits_{n|d}\mu(\frac{d}{n})f(d)\)
一般形式
已知\(f(n)=\sum\limits_{k=1}^na_{n,k}g(k)\)，求\(g(n)\)。
构造\(\mu(n,m)\)使得\(\sum\limits_{k=1}^n\mu(k,m)=[n=m]\)。
直接写答案，\(g(n)=\sum\limits_{k=1}^{n}\mu(n,k)f(k)\)。
子集反演
\(f(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}g(T)\)
- \(\sum\limits_{r\subseteq p}(-1)^{|r|}=[p=0]\)
- \(f(p)=\sum\limits_{q\subseteq p}g(q)\)
- \(g(p)=\sum\limits_{q\subseteq p}[p-q=0]g(q)\)
- \(g(p)=\sum\limits_{q\subseteq p}\sum\limits_{r\subseteq p-q}(-1)^{|r|}g(q)\)
- \(g(p)=\sum\limits_{r\subseteq p}(-1)^{|r|}f(p-r)\)
- \(g(p)=\sum\limits_{r\subseteq p}(-1)^{|p|-|r|}f(r)\)
\(f(S)=\sum\limits_{S\subseteq T}g(T)\)
\(g(S)=\sum\limits_{S\subseteq T}(-1)^{|T|-|S|}f(T)\)
斯特林反演
挖坑代填
最值反演(minmax容斥)
- \(max{S}=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min{T}\)
考虑排序后的\(a\)序列。 - \(\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min{T}=\sum\limits_{i=1}^na_i\sum\limits_{j=0}^{n-i}(-1)^j\binom{n-i}{j}\)
- \(\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min{T}=\sum\limits_{i=1}^na_i[n-i=0]\)
- \(\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}min{T}=a_n=max{S}\)
