NOIP2018提高组省一冲奖班模测训练（一）
比赛链接
https://www.51nod.com/contest/problemList.html#!contestId=72&randomCode=147206
这次考试的题非常有质量
这次考试暴露了非常多的问题，心理给自己设限，知识点不熟练等等问题。
只拿了暴力的分。
奈芙莲的护符
Nephren 有n个护符，每个护符的魔力容量都是无限的，并且每个护符在初始时已经被倾注了一些魔力。Nephren想要获得里面所有的魔力，但是她最后只能选择k个护符吸收。
所以，她需要将一些护符的魔力融合到一起。但是把i号护符的魔力移动到j号杯子需要花费c[i][j]的体力。
所以请您求出最小花费的体力。
【数据范围】
40%的数据保证n<=10。
100%的数据保证1≤ k≤ n ≤ 20
所有的c[i][j]<=100000,c[i][i]=0.
Input
第一行，输入n，k 下面N行，每行N个整数，描述c[i][j].
Output
输入一个整数，即所需的最小体力值。
Input示例
3 3 0 1 1 1 0 1 1 1 0
Output示例
0
这道题复习状压dp，状压dp一般可以处理一个集合内的问题
这道题是第三题，但我放在这一题
因为这一题反而最水……
我当时一看到数据范围20，马上想到状压dp
但是一方面因为觉得这是第三题，应该会比较难，而且前面两道题都做不出来，所以心理障碍
很大，就没有怎么很深入的去想（不过说到底还是状压dp不熟练）。
考完后，5分钟秒了，发现这是我做过最水的状压dp题。
这道题和TSP问题很类似（不懂的可以百度一下，或者我博客里面有）
用1表示魔力还在，0表示没有了。
那么dp[S] = min(dp[S], dp[S^(1<<j)] + c[j][i])
#include<bits/stdc++.h> #define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++) #define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++) using namespace std; const int MAXM = (1 << 20) + 10; const int MAXN = 30; int c[MAXN][MAXN], dp[MAXM]; int num(int x) { return !x ? 0 : 1 + num(x & (x - 1)); } //二进制中1的个数 int main() { int n, k; scanf("%d%d", &n, &k); REP(i, 0, n) REP(j, 0, n) scanf("%d", &c[i][j]); int ans = 1e9; memset(dp, 0x3f, sizeof(dp)); //这里初始化要注意 dp[(1<<n)-1] = 0; for(register int S = (1 << n) - 1; S >= 0; S--) { if(num(S) < k) continue; REP(i, 0, n) if(S & (1 << i)) REP(j, 0, n) if(!(S & (1 << j))) dp[S] = min(dp[S], dp[S^(1<<j)] + c[j][i]); if(num(S) == k) ans = min(ans, dp[S]); } printf("%d\n", ans); return 0; }
珂朵莉的旅行
浮游大陆由n个浮游岛构成，其中不同的浮游岛之间存在着飞艇航线。
由于浮游大陆的经济比较紧张，花在交通的费用不能太多，因此在保证每一个浮游岛都是联通的基础上，大贤者只修筑了n-1条航线。
在击败第五号岛的兽之后，威廉决定带辛苦战斗的珂朵莉，奈芙莲，艾瑟雅去浮游大陆旅行。
“Are you going toScarborough Fair?”
每个浮游岛本质属于不同的政体，所以它们的政策等会存在诸多差异。在旅行之前，威廉将浮游岛划分成两种，可以认为权值为1和0.由于要保证这是一次开心的旅行，所以他希望旅行之后经过的路径浮游岛的权值异或和为0.
他们的旅行方案是这样的：从某一个节点开始，不经过重复的节点，随机的选择一个与当前节点相连的节点，直到走到无路可走，这算完成一次旅行。
由于威廉也才来到浮游大陆不久，所以他也不知道每一个节点的权值到底是1还是0.
他想问问你，总共有多少种可能的钦点某些浮游岛的权值为1（其他浮游岛权值为0）的方式，符合上文提出的条件？
由于他们没有学过数学，因此请你将答案对 109+7 （一个质数）取模。
【数据规模和约定】
对于20%的数据，满足1<=n<=10
对于40%的数据，满足1<=n<=1000
对于额外20%的数据，浮游岛的连接将会成为一条链。
对于100%的数据，1<=n<=10^6.
【样例解释】如果威廉选择从1号浮游岛出发，那么可以设置0个或者2个浮游岛权值为1，因此共有4种可能。如果威廉选择从2号浮游岛出发，他可以走2-1,或者2-3,因此他可以设置0个浮游岛权值为1，或者三个浮游岛权值全部为1.从3出发和从1出发情况类似，因此共有4+2+4=10种方案。
Input
第一行一个整数n，表示浮游岛的数量 第二行开始每行两个整数u,v，表示浮游岛u和浮游岛v有无向的飞艇路线相连。
Output
一行一个整数，表示答案。
Input示例
3 1 2 2 3
Output示例
10
关于异或和，如果1的个数是偶数，那就是0，如果是奇数，就是1，和0取异或就不变，和1取异或就取反
n方的数据可以用树形dp过
我考试的时候dp方程都推出来了，可是竟然没有写，觉得是错的（我到底在干嘛？？？）（树形dp不熟练）
dp[i][0]表示从子树到子树根的路径异或和0的方案数，dp[i][1]是异或和为1
如果是dp[i][0]
如果根为1，那么除根以外的路径就要异或和为1，同时根据乘法原理，
方案数是dp[v1][1] * dp[v2][1]……
如果根为0，那么除根以外的路径就要异或和为0，同时根据乘法原理，
方案数是dp[v1][1] * dp[v2][1]……
然后根据加法原理，把这两个加起来
所以dp[i][0] = （dp[v1][1] * dp[v2][1]……）+（dp[v1][1] * dp[v2][1]……）
dp[i][1]也类似，然后可以发现是一样的
dp[i][1] = （dp[v1][1] * dp[v2][1]……）+（dp[v1][1] * dp[v2][1]……）
但是不知道为什么只过了2个点，会RE2个点
#include<bits/stdc++.h> #define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++) #define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++) using namespace std; typedef long long ll; const int MAXN = 1e6 + 10; const int mod = 1e9 + 7; struct Edge{ int to, next; }; Edge e[MAXN << 1]; int head[MAXN], tot; int d[MAXN], n; ll dp[MAXN][2]; void read(int& x) { int f = 1; x = 0; char ch = getchar(); while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar(); } while(isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); } x *= f; } void AddEdge(int from, int to) { e[tot] = Edge{to, head[from]}; head[from] = tot++; } void dfs(int u, int fa) { if(d[u] == 1 && fa != -1) { dp[u][1] = dp[u][0] = 1; return; } ll a = 1, b = 1; for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].next) { int v = e[i].to; if(v == fa) continue; dfs(v, u); a = a * dp[v][1] % mod; b = b * dp[v][0] % mod; } dp[u][1] = (dp[u][1] + a + b) % mod; dp[u][0] = (dp[u][0] + a + b) % mod; } int main() { read(n); if(n == 1) { puts("1"); return 0; } memset(head, -1, sizeof(head)); tot = 0; REP(i, 1, n) { int u, v; read(u); read(v); AddEdge(u, v); AddEdge(v, u); d[u]++; d[v]++; } ll ans = 0; _for(i, 1, n) { memset(dp, 0, sizeof(dp)); dfs(i, -1); ans = (ans + dp[i][0]) % mod; } printf("%lld\n", ans); return 0; }
然后我考虑20分一条链的做法
其实这个部分分的做法再拓展一下就是满分做法了
0-0-0-0-0-……0-0-0-0-0
这是一条链
我们分两部分来考虑，端点和除了端点以外的点
如果是除了端点以外的点
0-0-0-0-0-……0-0-0-0-0
设总的点数为n，那么这样的点有n-2个
考虑其中一个点
中间n-2个点的方案有2^(n-2)个
对于其中一种方案
其中一个点到端点之前的一个点的异或和是确定的
那么端点的权值就是被动确定的
比如从当前点到端点之前的一个点的异或和为0
那么端点只能赋值为0，因为总的异或和为0
所以端点的值是被动确定的。
因此对于每一种方案，都可以通过调整端点的值来使得异或和
为0，且端点只有一种取值
也就是说，2^(n-2)全部成立
那么这只是对于其中一个点，那么对于n-2个点
就有（n-2）*2^(n-2)种方案
如果是端点
分析方法类似
对于其中一个端点，其他的点有2^(n-1)种方案
端点本身被动确定
那么有2个端点，也就是2*2^(n-1)方案
最后加起来就好了
2*2^(n-1) + （n-2）*2^(n-2)
= 2^(n-2) * (n+2)
这就是20分的做法。
其实我没想出来主要思维能力没有达到，还需要多做题
100分的做法只是把端点的数变成叶子的数罢了
推理的方式很像，把2（2个端点）换成k（k个叶子）就好了
所以答案为2^(n-k) * (n+k)
读者可以自己推一遍（我懒）
最后注意要特判一下n=1的情况，有点坑
#include<bits/stdc++.h> #define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++) #define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++) using namespace std; typedef long long ll; const int MAXN = 1e6 + 10; const int mod = 1e9 + 7; int d[MAXN], n; void read(int& x) { int f = 1; x = 0; char ch = getchar(); while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar(); } while(isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); } x *= f; } ll pow(ll a, int b) { ll res = 1 % mod; a %= mod; for(; b; b >>= 1) { if(b & 1) res = res * a % mod; a = a * a % mod; } return res; } int main() { read(n); if(n == 1) { puts("1"); return 0; } REP(i, 1, n) { int u, v; read(u); read(v); d[u]++; d[v]++; } int k = 0; _for(i, 1, n) if(d[i] == 1) k++; ll ans = 2; ans = pow(ans, n - k); ans = ans * (n + k) % mod; printf("%lld\n", ans); return 0; }
奈芙莲的序列
有一天可爱的Nephren得到了一个序列，一开始，她取出序列的第一个数，形成一个新的序列B，然后取出序列A的第二个数，放在序列B的最左边或最右边，序列B此时有两个数，下一步，再取出序列A的第三个数放在序列B的最左边或最右边，……
现在的问题是，通过上面的步骤，可以得到B的最长上升子序列的长度是多少
【数据规模及约定】30%的数据保证N<=20
50%的数据保证N<=1000
100%的数据保证1 ≤ N ≤ 2×105
保证a序列所有数不会超过 109
Input
第一行，一个整数N. 第二行，N个整数，表示序列A。
Output
一行一个整数，表示最长上升子序列的长度
Input示例
4 2 1 3 4
Output示例
4
这道题的关键就是要推出一个性质，同时会用树状数组求LIS（二分的方法不行）
什么性质呢？
我们自己多造几组数据来算可以发现（然而我考试的时候并没有发现）
新生成的b序列的最长上升子序列的长度>=a序列的最长上升子序列长度（我们要考虑原序列和新序列的关系）
比如样例 2 1 3 4
如果一直放最右边，那么生成的序列和原来一样
那么我们可以通过某种策略来使新序列答案更大
对于这道题，可以
2
1 2
1 2 3
1 2 3 4
那么这种策略是什么呢，这是这道题的关键
拿样例来看，为什么新生成序列答案更大
答案中比原来序列的最长上升子序列多了一个1
这个1怎么来的。
原序列中在2的右边，然后放到2的左边来的。
1满足在2的右边，又比2小
最长下降子序列？？？
那么我们是不是可以猜一下
新序列的最长上升子序列等于以a[i]为起始的最长上升子序列+a[i]为起始的最长下降子序列-1（多算了一次a[i]）
我们这么想
先说最长上升子序列，我们可以把这一部分的数从左到右一直放到最右边，那么这一部分的数就是有效的
然后是最长下降子序列，我们可以把这一部分的数从左到右一直放到最左边，那么这一部分的数也是是有效的
比如 6 5 4 3 7 8 9
那么就是
6
5 6
4 5 6
3 4 5 6
3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
这个数据可能有点水，但是就算最长上升子序列和最长下降子序列有交叉，也是成立的。
遇到了最长上升子序列中的数，就放最右边，下降就最左，其他的数无所谓
那么上面那个结论就成立了，也就是新序列的最长上升子序列等于以a[i]为起始的最长上升子序列+a[i]为起始的最长下降子序列-1（多算了一次a[i]）
那么枚举a[i]求max就好了。
那么这两个数组怎么求呢
可以n方暴力，拿50分
100分要用树状数组
不知道怎么用树状数组优化到nlogn的同学可以看我写的这篇博客
https://www.cnblogs.com/sugewud/p/9823222.html
然后这里有个细节，就是求最长上升的时候
把a[i]变成-a[i]
但是下标要>=1
所以改成m - a[i] + 1（m为离散化后最大的数值）
但是因为是严格上升，加入的时候要写成m - a[i] + 0
这个时候下标就会为0了
所以改成m - a[i] + 2， 加入的时候写m - a[i] + 1
#include<bits/stdc++.h> #define REP(i, a, b) for(register int i = (a); i < (b); i++) #define _for(i, a, b) for(register int i = (a); i <= (b); i++) using namespace std; const int MAXN = 2e5 + 10; int a[MAXN], b[MAXN], n, m; int dp[MAXN][2], f[MAXN]; inline lowbit(int x) { return x & (-x); } void motify(int x, int p) { for(; x <= m + 1; x += lowbit(x)) f[x] = max(f[x], p); } int get_max(int x) { int res = 0; for(; x; x -= lowbit(x)) res = max(res, f[x]); return res; } int main() { scanf("%d", &n); _for(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]), b[i] = a[i]; sort(b + 1, b + n + 1); m = unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1; _for(i, 1, n) a[i] = lower_bound(b + 1, b + m + 1, a[i]) - b; for(register int i = n; i >= 1; i--) { dp[i][0] = get_max(m - a[i] + 1) + 1; motify(m - a[i] + 2, dp[i][0]); } memset(f, 0, sizeof(f)); for(register int i = n; i >= 1; i--) { dp[i][1] = get_max(a[i] - 1) + 1; motify(a[i], dp[i][1]); } int ans = 0; _for(i, 1, n) ans = max(ans, dp[i][0] + dp[i][1] - 1); printf("%d\n", ans); return 0; }
总结：收货还是蛮大的
T1 思维方式+复习树形dp
T2 手算样例找规律猜结论+学会树状数组求LIS
T3 复习状压dp
