紫书 习题8-9 UVa 1613 （dfs染色+图的性质）

这道题一开始我没想什么直接开始染， 但是是for循环一个节点一个节点染， 然后就WA

后了看了https://www.cnblogs.com/jerryRey/p/4702323.html

发现原来还需要证明一下染色一定可以， 同时染色的方式是dfs

（1）证明

首先， 如果最大度数sum是偶数， 那么按照题目意思， k就为sum+1.

这个时候最坏情况下最大度数点与周围点的颜色都不一样， 需要sum+1种颜色， 也就是刚好是

k， 所以这种情况一定可以用k种颜色染完

其次， 如果最大度数sum是奇数的话， 此时k=sum， 最坏情况也是最大度数点与周围点的颜色都不一样。

但是这种情况可以证明是不存在的， 因为n为奇数

假设这种情况存在， 那么最大度数点u的一个相邻点v， 那么v一定有degree[u]（u的度数）

个颜色不相同的点在v周围。为什么呢， 如果不是的话， 那么v的颜色就有多种可能

（没有被周围点限制）， 那么就不满足前面所讲的最大度数点与周围点颜色不一样，

因为v可以为其他颜色。所以v一定有degree[u]（u的度数）个颜色不相同的点在v周围。

那么可以推出u周围所有点都是这样， 同理u周围的点的周围点也是这样。

所以这个图是个完全图， 也就是说一个点和其他所有节点都可以直接连接。

那么， 前面说最大度数sum是奇数， 那么图中点的个数为sum+1（本身）， 

也就是点数为偶数。与题目给的n为奇数是矛盾的。

所以在最大度数sum是奇数这种情况下， 一定不存在最大度数点与周围点的颜色都不一样这

中情况（此时需要颜色数为sum+1）， 也就是说需要颜色一定小于这种情况需要的颜色（需要颜色 < sum + 1） 

也就是 需要颜色<= sum = k， 所以k种颜色一定可以染完。

（2）染色方式

貌似dfs这样染周围的点的方式比较优。我之前用for循环遍历点来染色的方法会把后面的点“堵死”。

（3）另外， 学到了 a | 1是奇数不变， 偶数加1， 以及max_element的用法， 加上*表示指针的值

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define REP(i, a, b) for(int i = (a); i <= (b); i++)
using namespace std;

const int MAXN = 11234;
vector<int> g[MAXN];
int degree[MAXN], color[MAXN], vis[MAXN], n, m, k;

void dfs(int u)  //dfs染色 
{
	REP(i, 0, g[u].size() - 1)
		vis[color[g[u][i]]] = u;
	
	REP(i, 1, k)
		if(vis[i] != u)
		{
			color[u] = i;
			break;
		}
	
	REP(i, 0, g[u].size() - 1)
		if(!color[g[u][i]])
			dfs(g[u][i]);
}

int main()
{
	while(~scanf("%d%d", &n, &m))
	{
		REP(i, 1, n) g[i].clear();
		memset(degree, 0, sizeof(degree));
		memset(color, 0, sizeof(color));
		memset(vis, 0, sizeof(vis));
		
		while(m--)
		{
			int x, y;
			scanf("%d%d", &x, &y);
			g[x].push_back(y);
			g[y].push_back(x);
			degree[x]++; degree[y]++;
		}
		
		k = (*max_element(degree+1, degree+n+1)) | 1;	//偶+1， 奇不变。 
		dfs(1);                                         // max_element求最大值， 返回指针 
		
		printf("%d\n", k);
		REP(i, 1, n) printf("%d\n", color[i]);
		puts("");
	}
	
	return 0;
}