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Carathéodory 扩张定理

[T241107] (Carathéodory 扩张)μ 是代数 F0 上的预测度, 则其外测度 μμ 的一个扩张, 称为 μ 的 Carathéodory 扩张. (即 μ(Ω,σ(F0)) 上的测度且在 F0 上与 μ 一致)
Proof: 只需证明 μF=σ(F0) 上的测度且在 F0 上与 μ 一致.
(Step1.) 先证明 μF0 上与 μ 一致, 即证 AF0, 满足 μ(A)=μ(A). 注意到

μ(A)=inf

A\cup\varnothing\cup\varnothing\cup\cdots\supset A, 因此

\mu^*(A)\le \mu(A)+\mu(\varnothing)+\mu(\varnothing)+\cdots=\mu(A).

另一方面, 若 \mu^*(A)<+\infty, 则对 \forall\varepsilon>0, ~\exists~A_n\in\mathscr F_0, 使得 \bigcup\limits_nA_n\supset A, 且

\sum_n\mu(A_n)<\mu^*(A)+\varepsilon.

\mu 的可列可加性和单调性知

\begin{aligned} \mu(A)&\le\mu\left(\bigcup_nA_n\right)=\mu\left(A_1\cup (A_2\cap A_1^c)\cup(A_3\cap(A_1\cup A_2)^c)\cdots\right)\\ &=\mu(A_1)+\mu(A_2\cap A_1^c)+\mu(A_3\cap(A_1\cup A_2)^c)+\cdots\\ &\le\sum_n\mu(A_n)<\mu^*(A)+\varepsilon. \end{aligned}

再由 \varepsilon 的任意性可知 \mu(A)\le\mu^*(A). 综上, \mu(A)=\mu^*(A).
(Step2.) 再证明 \mu^*\mathscr F=\mathscr \sigma(F_0) 上的测度, 只需证明 \mathscr F=\sigma(\mathscr F_0)\subset\mathscr M, 其中 \mathscr M\mu^* 可测子集全体构成的 \sigma 代数.

见“(\Omega,\mathscr M,\mu^*) 是完备测度空间”: https://www.cnblogs.com/sufewsj/p/18526955

\forall A\in\mathscr F_0, 要证明 A\in\mathscr M. 对 \forall E\subset\Omega, 不妨设 \mu^*(E)<\infty, 则对 \forall \varepsilon>0, 存在子集列 \{A_n\}\subset\mathscr F_0 满足 \cup_nA_n\supset E\sum\limits_n\mu(A_n)<\mu^*(E)+\varepsilon, 因而

\begin{aligned} \mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\cap A^c)&\le\mu^*\left(\bigcup_n(A_n\cap A)\right)+\mu^*\left(\bigcup_n(A_n\cap A^c)\right)\\ (\text{外测度的次可列可加性})~&\le\sum_n\left[\mu^*(A_n\cap A)+\mu^*(A_n\cap A^c)\right]\\ (\text{Step1.})~&=\sum_n\left[\mu(A_n\cap A)+\mu(A_n\cap A^c)\right]\\ (\text{预测度的可列可加性})~&=\sum_n\mu(A_n)\\ &<\mu^*(E)+\varepsilon \end{aligned}

\varepsilon 的任意性可知 \mu^*(E)\ge\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\cap A^c), 即 A 满足 Carathéodory 条件, 从而 A\in\mathscr M. 由 A\mathscr F_0 中的任意性可知 \mathscr F_0\subset\mathscr M, 从而 \mathscr F=\sigma(\mathscr F_0)\subset\sigma(\mathscr M)=\mathscr M, 故 \mu^*\mathscr F=\sigma(\mathscr F_0) 上的测度.
综上, \mu^* 限制在 \mathscr F 上是 \mu 的一个扩张. #

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