Carathéodory 扩张定理

[T241107] (Carathéodory 扩张) 设 $\mu$ 是代数 $\mathscr F_0$ 上的预测度, 则其外测度 $\mu^*$ 是 $\mu$ 的一个扩张, 称为 $\mu$ 的 Carathéodory 扩张. (即 $\mu^*$ 是 $(\Omega,\sigma(\mathscr F_0))$ 上的测度且在 $\mathscr F_0$ 上与 $\mu$ 一致)
Proof: 只需证明 $\mu^*$ 是 $\mathscr F=\mathscr \sigma(F_0)$ 上的测度且在 $\mathscr F_0$ 上与 $\mu$ 一致.
(Step1.) 先证明 $\mu^*$ 在 $\mathscr F_0$ 上与 $\mu$ 一致, 即证 $\forall A\in\mathscr F_0$, 满足 $\mu^*(A)=\mu(A)$. 注意到

$$\mu^*(A)=\inf\left\{\sum_n\mu(A_n):\{A_n\}\subset\mathscr F_0,~\bigcup_nA_n\supset A\right\},$$

而 $A\cup\varnothing\cup\varnothing\cup\cdots\supset A$, 因此

$$\mu^*(A)\le \mu(A)+\mu(\varnothing)+\mu(\varnothing)+\cdots=\mu(A).$$

另一方面, 若 $\mu^*(A)<+\infty$, 则对 $\forall\varepsilon>0, ~\exists~A_n\in\mathscr F_0$, 使得 $\bigcup\limits_nA_n\supset A$, 且

$$\sum_n\mu(A_n)<\mu^*(A)+\varepsilon.$$

由 $\mu$ 的可列可加性和单调性知

$$\begin{aligned} \mu(A)&\le\mu\left(\bigcup_nA_n\right)=\mu\left(A_1\cup (A_2\cap A_1^c)\cup(A_3\cap(A_1\cup A_2)^c)\cdots\right)\\ &=\mu(A_1)+\mu(A_2\cap A_1^c)+\mu(A_3\cap(A_1\cup A_2)^c)+\cdots\\ &\le\sum_n\mu(A_n)<\mu^*(A)+\varepsilon. \end{aligned}$$

再由 $\varepsilon$ 的任意性可知 $\mu(A)\le\mu^*(A)$. 综上, $\mu(A)=\mu^*(A)$.
(Step2.) 再证明 $\mu^*$ 是 $\mathscr F=\mathscr \sigma(F_0)$ 上的测度, 只需证明 $\mathscr F=\sigma(\mathscr F_0)\subset\mathscr M$, 其中 $\mathscr M$ 是 $\mu^*$ 可测子集全体构成的 $\sigma$ 代数.

见“$(\Omega,\mathscr M,\mu^*)$ 是完备测度空间”: https://www.cnblogs.com/sufewsj/p/18526955

对 $\forall A\in\mathscr F_0$, 要证明 $A\in\mathscr M$. 对 $\forall E\subset\Omega$, 不妨设 $\mu^*(E)<\infty$, 则对 $\forall \varepsilon>0$, 存在子集列 $\{A_n\}\subset\mathscr F_0$ 满足 $\cup_nA_n\supset E$ 且 $\sum\limits_n\mu(A_n)<\mu^*(E)+\varepsilon$, 因而

$$\begin{aligned} \mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\cap A^c)&\le\mu^*\left(\bigcup_n(A_n\cap A)\right)+\mu^*\left(\bigcup_n(A_n\cap A^c)\right)\\ (\text{外测度的次可列可加性})~&\le\sum_n\left[\mu^*(A_n\cap A)+\mu^*(A_n\cap A^c)\right]\\ (\text{Step1.})~&=\sum_n\left[\mu(A_n\cap A)+\mu(A_n\cap A^c)\right]\\ (\text{预测度的可列可加性})~&=\sum_n\mu(A_n)\\ &<\mu^*(E)+\varepsilon \end{aligned}$$

由 $\varepsilon$ 的任意性可知 $\mu^*(E)\ge\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\cap A^c)$, 即 $A$ 满足 Carathéodory 条件, 从而 $A\in\mathscr M$. 由 $A$ 在 $\mathscr F_0$ 中的任意性可知 $\mathscr F_0\subset\mathscr M$, 从而 $\mathscr F=\sigma(\mathscr F_0)\subset\sigma(\mathscr M)=\mathscr M$, 故 $\mu^*$ 是 $\mathscr F=\sigma(\mathscr F_0)$ 上的测度.
综上, $\mu^*$ 限制在 $\mathscr F$ 上是 $\mu$ 的一个扩张. #