Carathéodory 扩张定理

[T241107] (Carathéodory 扩张) 设 \(\mu\) 是代数 \(\mathscr F_0\) 上的预测度, 则其外测度 \(\mu^*\) 是 \(\mu\) 的一个扩张, 称为 \(\mu\) 的 Carathéodory 扩张. (即 \(\mu^*\) 是 \((\Omega,\sigma(\mathscr F_0))\) 上的测度且在 \(\mathscr F_0\) 上与 \(\mu\) 一致)
Proof: 只需证明 \(\mu^*\) 是 \(\mathscr F=\mathscr \sigma(F_0)\) 上的测度且在 \(\mathscr F_0\) 上与 \(\mu\) 一致.
(Step1.) 先证明 \(\mu^*\) 在 \(\mathscr F_0\) 上与 \(\mu\) 一致, 即证 \(\forall A\in\mathscr F_0\), 满足 \(\mu^*(A)=\mu(A)\). 注意到

\[\mu^*(A)=\inf\left\{\sum_n\mu(A_n):\{A_n\}\subset\mathscr F_0,~\bigcup_nA_n\supset A\right\}, \]

而 \(A\cup\varnothing\cup\varnothing\cup\cdots\supset A\), 因此

\[\mu^*(A)\le \mu(A)+\mu(\varnothing)+\mu(\varnothing)+\cdots=\mu(A). \]

另一方面, 若 \(\mu^*(A)<+\infty\), 则对 \(\forall\varepsilon>0, ~\exists~A_n\in\mathscr F_0\), 使得 \(\bigcup\limits_nA_n\supset A\), 且

\[\sum_n\mu(A_n)<\mu^*(A)+\varepsilon. \]

由 \(\mu\) 的可列可加性和单调性知

\[\begin{aligned} \mu(A)&\le\mu\left(\bigcup_nA_n\right)=\mu\left(A_1\cup (A_2\cap A_1^c)\cup(A_3\cap(A_1\cup A_2)^c)\cdots\right)\\ &=\mu(A_1)+\mu(A_2\cap A_1^c)+\mu(A_3\cap(A_1\cup A_2)^c)+\cdots\\ &\le\sum_n\mu(A_n)<\mu^*(A)+\varepsilon. \end{aligned} \]

再由 \(\varepsilon\) 的任意性可知 \(\mu(A)\le\mu^*(A)\). 综上, \(\mu(A)=\mu^*(A)\).
(Step2.) 再证明 \(\mu^*\) 是 \(\mathscr F=\mathscr \sigma(F_0)\) 上的测度, 只需证明 \(\mathscr F=\sigma(\mathscr F_0)\subset\mathscr M\), 其中 \(\mathscr M\) 是 \(\mu^*\) 可测子集全体构成的 \(\sigma\) 代数.

见“\((\Omega,\mathscr M,\mu^*)\) 是完备测度空间”: https://www.cnblogs.com/sufewsj/p/18526955

对 \(\forall A\in\mathscr F_0\), 要证明 \(A\in\mathscr M\). 对 \(\forall E\subset\Omega\), 不妨设 \(\mu^*(E)<\infty\), 则对 \(\forall \varepsilon>0\), 存在子集列 \(\{A_n\}\subset\mathscr F_0\) 满足 \(\cup_nA_n\supset E\) 且 \(\sum\limits_n\mu(A_n)<\mu^*(E)+\varepsilon\), 因而

\[\begin{aligned} \mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\cap A^c)&\le\mu^*\left(\bigcup_n(A_n\cap A)\right)+\mu^*\left(\bigcup_n(A_n\cap A^c)\right)\\ (\text{外测度的次可列可加性})~&\le\sum_n\left[\mu^*(A_n\cap A)+\mu^*(A_n\cap A^c)\right]\\ (\text{Step1.})~&=\sum_n\left[\mu(A_n\cap A)+\mu(A_n\cap A^c)\right]\\ (\text{预测度的可列可加性})~&=\sum_n\mu(A_n)\\ &<\mu^*(E)+\varepsilon \end{aligned} \]

由 \(\varepsilon\) 的任意性可知 \(\mu^*(E)\ge\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\cap A^c)\), 即 \(A\) 满足 Carathéodory 条件, 从而 \(A\in\mathscr M\). 由 \(A\) 在 \(\mathscr F_0\) 中的任意性可知 \(\mathscr F_0\subset\mathscr M\), 从而 \(\mathscr F=\sigma(\mathscr F_0)\subset\sigma(\mathscr M)=\mathscr M\), 故 \(\mu^*\) 是 \(\mathscr F=\sigma(\mathscr F_0)\) 上的测度.
综上, \(\mu^*\) 限制在 \(\mathscr F\) 上是 \(\mu\) 的一个扩张. #