外测度的构造

合集 - 概率论与随机过程(6)

1.Dynkin定理2024-11-062.$(\Omega,\mathscr M,\mu^*)$ 是完备测度空间2024-11-043.“有限可加性和次可列可加性等价于可列可加性”2024-10-29

4.外测度的构造2024-11-07

5.Carathéodory 扩张定理2024-11-076.sigma有限的预测度的扩张是唯一的2024-11-11

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[T241107] 设 $\mathscr F$ 是一个含空集的子集类, $\mu$ 是 $\mathscr F_0$ 上的一个满足 $\mu(\varnothing)=0$ 的非负集函数. 对 $A\subset \Omega$, 定义:

$$\mu^*(A):=\inf\left\{\sum_n\mu(A_n):\{A_n\}\subset\mathscr F_0,~\bigcup_nA_n\supset A\right\}.$$

约定如果 $\mathscr F_0$ 没有可列个集合可以覆盖 $A$, 那么 $\mu^*(A)=+\infty$, 则 $\mu^*$ 是一个外测度.
Proof: 只需验证 $\mu^*$ 符合外测度的定义.
(Step1.) 验证 $\mu^*(\varnothing)=0$. 事实上, 注意到 $\cup_n\varnothing\supset\varnothing$, 于是

$$\begin{aligned} 0\le\mu^*(\varnothing)&=\inf\left\{\sum_n\mu(A_n):\{A_n\}\subset\mathscr F_0,~\bigcup_nA_n\supset\varnothing\right\}\\ &\le\mu(\varnothing)+\mu(\varnothing)+\cdots=0. \end{aligned}$$

从而 $\mu^*(\varnothing)=0$.
(Step2.) 验证单调性. 设 $A\subset B\subset\Omega$, 注意到

$$\begin{aligned} \mu^*(A)&=\inf\left\{\sum_n\mu(A_n):\{A_n\}\subset\mathscr F_0,~\bigcup_nA_n\supset A\right\}\\ &\le\inf\left\{\sum_n\mu(A_n):\{A_n\}\subset\mathscr F_0,~\bigcup_nA_n\supset B\supset A\right\}\\ &=\mu^*(B) \end{aligned}$$

故单调性成立.
(Step3.) 验证次可列可加性. 设 $\{A_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset \mathscr F_0$.

• 若 $\exists n_0,~s.t.~\mu^*(A_{n_0})=+\infty$, 由 $\mu^*$ 的定义形式可知 $\mu(A_{n_0})=+\infty$. 注意到 $\bigcup\limits_n A_n\subset\bigcup\limits_n A_n$, 于是

  $$\begin{aligned} \mu^*\left(\bigcup_nA_n\right)&=\inf\left\{\sum_n\mu(B_n):\{B_n\}\subset\mathscr F_0,~\bigcup_nB_n\supset \bigcup_nA_n\right\}\\ &\le\sum_n\mu(A_n)=+\infty. \end{aligned}$$

  因此

  $$\mu^*\left(\bigcup_nA_n\right)\le+\infty=\mu^*(A_{n_0})\le\sum_n\mu^*(A_n).$$

• 若对 $\forall n,~\mu^*(A_n)<+\infty$. 则每个 $A_n$ 都能被 $\mathscr F_0$ 中可列个集合覆盖. $\forall\varepsilon>0$, 对于每个 $n=1,2,\cdots$, 取 $\{A_{n,k}\}_{k=1}^{\infty}\subset\mathscr F_0$ 使 $\bigcup\limits_kA_{n,k}\supset A_n$, 且

  $$\mu^*(A_n)+\frac{\varepsilon}{2^n}>\sum_k\mu(A_{n,k}),$$

  又 $\bigcup\limits_n\bigcup\limits_k A_{n,k}\supset\bigcup\limits_n A_n$, 故

  $$\mu^*\left(\bigcup_nA_n\right)\le\sum_n\sum_k\mu(A_{n,k})<\sum_n\mu^*(A_n)+\varepsilon.$$

  由 $\varepsilon$ 的任意性可知

  $$\mu^*\left(\bigcup_nA_n\right)\le\sum_n\mu^*(A_n).$$

  综上, 次可列可加性也成立. #