外测度的构造
[T241107] 设 F 是一个含空集的子集类, μ 是 F0 上的一个满足 μ(∅)=0 的非负集函数. 对 A⊂Ω, 定义:
约定如果 \mathscr F_0 没有可列个集合可以覆盖 A, 那么 \mu^*(A)=+\infty, 则 \mu^* 是一个外测度.
Proof: 只需验证 \mu^* 符合外测度的定义.
(Step1.) 验证 \mu^*(\varnothing)=0. 事实上, 注意到 \cup_n\varnothing\supset\varnothing, 于是
从而 \mu^*(\varnothing)=0.
(Step2.) 验证单调性. 设 A\subset B\subset\Omega, 注意到
故单调性成立.
(Step3.) 验证次可列可加性. 设 \{A_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset \mathscr F_0.
-
若 \exists n_0,~s.t.~\mu^*(A_{n_0})=+\infty, 由 \mu^* 的定义形式可知 \mu(A_{n_0})=+\infty. 注意到 \bigcup\limits_n A_n\subset\bigcup\limits_n A_n, 于是
\begin{aligned} \mu^*\left(\bigcup_nA_n\right)&=\inf\left\{\sum_n\mu(B_n):\{B_n\}\subset\mathscr F_0,~\bigcup_nB_n\supset \bigcup_nA_n\right\}\\ &\le\sum_n\mu(A_n)=+\infty. \end{aligned}因此
\mu^*\left(\bigcup_nA_n\right)\le+\infty=\mu^*(A_{n_0})\le\sum_n\mu^*(A_n). -
若对 \forall n,~\mu^*(A_n)<+\infty. 则每个 A_n 都能被 \mathscr F_0 中可列个集合覆盖. \forall\varepsilon>0, 对于每个 n=1,2,\cdots, 取 \{A_{n,k}\}_{k=1}^{\infty}\subset\mathscr F_0 使 \bigcup\limits_kA_{n,k}\supset A_n, 且
\mu^*(A_n)+\frac{\varepsilon}{2^n}>\sum_k\mu(A_{n,k}),又 \bigcup\limits_n\bigcup\limits_k A_{n,k}\supset\bigcup\limits_n A_n, 故
\mu^*\left(\bigcup_nA_n\right)\le\sum_n\sum_k\mu(A_{n,k})<\sum_n\mu^*(A_n)+\varepsilon.由 \varepsilon 的任意性可知
\mu^*\left(\bigcup_nA_n\right)\le\sum_n\mu^*(A_n).综上, 次可列可加性也成立. #
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