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外测度的构造

[T241107]F 是一个含空集的子集类, μF0 上的一个满足 μ()=0 的非负集函数. 对 AΩ, 定义:

μ(A):=inf

约定如果 \mathscr F_0 没有可列个集合可以覆盖 A, 那么 \mu^*(A)=+\infty, 则 \mu^* 是一个外测度.
Proof: 只需验证 \mu^* 符合外测度的定义.
(Step1.) 验证 \mu^*(\varnothing)=0. 事实上, 注意到 \cup_n\varnothing\supset\varnothing, 于是

\begin{aligned} 0\le\mu^*(\varnothing)&=\inf\left\{\sum_n\mu(A_n):\{A_n\}\subset\mathscr F_0,~\bigcup_nA_n\supset\varnothing\right\}\\ &\le\mu(\varnothing)+\mu(\varnothing)+\cdots=0. \end{aligned}

从而 \mu^*(\varnothing)=0.
(Step2.) 验证单调性. 设 A\subset B\subset\Omega, 注意到

\begin{aligned} \mu^*(A)&=\inf\left\{\sum_n\mu(A_n):\{A_n\}\subset\mathscr F_0,~\bigcup_nA_n\supset A\right\}\\ &\le\inf\left\{\sum_n\mu(A_n):\{A_n\}\subset\mathscr F_0,~\bigcup_nA_n\supset B\supset A\right\}\\ &=\mu^*(B) \end{aligned}

故单调性成立.
(Step3.) 验证次可列可加性. 设 \{A_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset \mathscr F_0.

  • \exists n_0,~s.t.~\mu^*(A_{n_0})=+\infty, 由 \mu^* 的定义形式可知 \mu(A_{n_0})=+\infty. 注意到 \bigcup\limits_n A_n\subset\bigcup\limits_n A_n, 于是

    \begin{aligned} \mu^*\left(\bigcup_nA_n\right)&=\inf\left\{\sum_n\mu(B_n):\{B_n\}\subset\mathscr F_0,~\bigcup_nB_n\supset \bigcup_nA_n\right\}\\ &\le\sum_n\mu(A_n)=+\infty. \end{aligned}

    因此

    \mu^*\left(\bigcup_nA_n\right)\le+\infty=\mu^*(A_{n_0})\le\sum_n\mu^*(A_n).

  • 若对 \forall n,~\mu^*(A_n)<+\infty. 则每个 A_n 都能被 \mathscr F_0 中可列个集合覆盖. \forall\varepsilon>0, 对于每个 n=1,2,\cdots, 取 \{A_{n,k}\}_{k=1}^{\infty}\subset\mathscr F_0 使 \bigcup\limits_kA_{n,k}\supset A_n, 且

    \mu^*(A_n)+\frac{\varepsilon}{2^n}>\sum_k\mu(A_{n,k}),

    \bigcup\limits_n\bigcup\limits_k A_{n,k}\supset\bigcup\limits_n A_n, 故

    \mu^*\left(\bigcup_nA_n\right)\le\sum_n\sum_k\mu(A_{n,k})<\sum_n\mu^*(A_n)+\varepsilon.

    \varepsilon 的任意性可知

    \mu^*\left(\bigcup_nA_n\right)\le\sum_n\mu^*(A_n).

    综上, 次可列可加性也成立. #

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