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Dynkin定理

[T241106] (Dynkin) 设 F0 是一个 π类, 则 δ(F0)=σ(F0).
Proof: 注意到 σ(F0) 是包含 F0 的最小 σ代数. 因此只需证明 δ(F0) 是包含 F0 的最小 σ代数. 又 δ(F0) 是包含 F0 的最小 Dynkin 系, 而 σ代数都是 Dynkin 系, 因此只需证明 δ(F0)σ代数. 又 Dynkin 系对于补运算和不交可列并运算封闭, 因此只需证明 δ(F0) 对于可列并封闭.
(Step1.) 先证明 δ(F0) 对于有限交封闭. 任取 Aδ(A), 定义

κ[A]:={Bδ(F0):ABδ(F0)}

  • 先验证 κ[A] 是一个 Dynkin 系. 显然 A=δ(F0), 于是 κ[A], 故只需验证 κ[A] 关于补集运算和不交可列并运算封闭.

    • 关于补集运算封闭
      对于 Bκ[A], 注意到

      ABc=(AcB)c=(Ac(AB))cδ(F0)

      于是 Bcκ[A], 从而 κ[A] 关于补集运算封闭.

    • 关于不交可列并封闭
      取不交集列 {Bb}κ[A], 注意到

      A(nBn)=n(ABn)δ(F0)

      nBnκ[A].

    综上, κ[A] 是一个 Dynkin 系.

  • 再证明 δ(F0) 对于有限交封闭
    事实上, 由于 F0π类, 故对于 AF0δ(F0), 对 BF0, 有 ABF0δ(F0), 从而 F0κ[A]. 又 δ(F0) 是包含 F0 的最小 Dynkin 系, 故必有 δ(F0)κ[A]. 因此对于 A,Bδ(F0), 有 ABδ(F0), 故 δ(F0) 对于有限交封闭.

(Step2.) 证明 δ(F0) 对于可列并封闭. 取一列 {An}+n=1δ(F0), 记

A=+n=1An,Sn=nk=1Ak

{Sn} 是单调递增集列, 且

Sn=A1(A2Ac1)(An(n1k=1Ak)c)δ(F0)

不妨令 S0=, 则

A=+n=1An=+n=1Sn=+n=1(SnScn1)δ(F0)

δ(F0) 对于可列并封闭. #

posted @   只会加减乘除  阅读(59)  评论(0编辑  收藏  举报
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