Dynkin定理
[T241106] (Dynkin) 设 F0 是一个 π−类, 则 δ(F0)=σ(F0).
Proof: 注意到 σ(F0) 是包含 F0 的最小 σ−代数. 因此只需证明 δ(F0) 是包含 F0 的最小 σ−代数. 又 δ(F0) 是包含 F0 的最小 Dynkin 系, 而 σ−代数都是 Dynkin 系, 因此只需证明 δ(F0) 是 σ−代数. 又 Dynkin 系对于补运算和不交可列并运算封闭, 因此只需证明 δ(F0) 对于可列并封闭.
(Step1.) 先证明 δ(F0) 对于有限交封闭. 任取 A∈δ(A), 定义
κ[A]:={B∈δ(F0):A∩B∈δ(F0)}
-
先验证 κ[A] 是一个 Dynkin 系. 显然 A∩∅=∅∈δ(F0), 于是 ∅∈κ[A], 故只需验证 κ[A] 关于补集运算和不交可列并运算封闭.
-
关于补集运算封闭
对于 ∀B∈κ[A], 注意到A∩Bc=(Ac∪B)c=(Ac∪(A∩B))c∈δ(F0)于是 Bc∈κ[A], 从而 κ[A] 关于补集运算封闭.
-
关于不交可列并封闭
取不交集列 {Bb}⊂κ[A], 注意到A∩(∪nBn)=∪n(A∩Bn)∈δ(F0)故 ∪nBn∈κ[A].
综上, κ[A] 是一个 Dynkin 系.
-
-
再证明 δ(F0) 对于有限交封闭
事实上, 由于 F0 是 π−类, 故对于 A∈F0⊂δ(F0), 对 ∀B∈F0, 有 A∩B∈F0⊂δ(F0), 从而 F0⊂κ[A]. 又 δ(F0) 是包含 F0 的最小 Dynkin 系, 故必有 δ(F0)⊂κ[A]. 因此对于 ∀A,B∈δ(F0), 有 A∩B∈δ(F0), 故 δ(F0) 对于有限交封闭.
(Step2.) 证明 δ(F0) 对于可列并封闭. 取一列 {An}+∞n=1⊂δ(F0), 记
A=+∞⋃n=1An,Sn=n⋃k=1Ak
则 {Sn} 是单调递增集列, 且
Sn=A1∪(A2∩Ac1)∪⋯∪(An∩(∪n−1k=1Ak)c)∪∅⋯∈δ(F0)
不妨令 S0=∅, 则
A=+∞⋃n=1An=+∞⋃n=1Sn=+∞⋃n=1(Sn∩Scn−1)∈δ(F0)
故 δ(F0) 对于可列并封闭. #
【推荐】编程新体验,更懂你的AI,立即体验豆包MarsCode编程助手
【推荐】凌霞软件回馈社区,博客园 & 1Panel & Halo 联合会员上线
【推荐】抖音旗下AI助手豆包,你的智能百科全书,全免费不限次数
【推荐】博客园社区专享云产品让利特惠,阿里云新客6.5折上折
【推荐】轻量又高性能的 SSH 工具 IShell:AI 加持,快人一步