Dynkin定理

[T241106] (Dynkin) 设 \(\mathscr F_0\) 是一个 \(\pi-\)类, 则 \(\delta(\mathscr F_0)=\sigma(\mathscr F_0)\).
Proof: 注意到 \(\sigma(\mathscr F_0)\) 是包含 \(\mathscr F_0\) 的最小 \(\sigma-\)代数. 因此只需证明 \(\delta(\mathscr F_0)\) 是包含 \(\mathscr F_0\) 的最小 \(\sigma-\)代数. 又 \(\delta(\mathscr F_0)\) 是包含 \(\mathscr F_0\) 的最小 Dynkin 系, 而 \(\sigma-\)代数都是 Dynkin 系, 因此只需证明 \(\delta(\mathscr F_0)\) 是 \(\sigma-\)代数. 又 Dynkin 系对于补运算和不交可列并运算封闭, 因此只需证明 \(\delta(\mathscr F_0)\) 对于可列并封闭.
(Step1.) 先证明 \(\delta(\mathscr F_0)\) 对于有限交封闭. 任取 \(A\in\delta(A)\), 定义

\[\kappa[A]:=\{B\in\delta(\mathscr F_0):A\cap B\in\delta(\mathscr F_0)\} \]

• 先验证 \(\kappa [A]\) 是一个 Dynkin 系. 显然 \(A\cap\varnothing=\varnothing\in\delta(\mathscr F_0)\), 于是 \(\varnothing\in\kappa[A]\), 故只需验证 \(\kappa[A]\) 关于补集运算和不交可列并运算封闭.

  • 关于补集运算封闭
    对于 \(\forall B\in\kappa[A]\), 注意到

    \[A\cap B^c=(A^c\cup B)^c=(A^c\cup(A\cap B))^c\in\delta(\mathscr F_0) \]

    于是 \(B^c\in\kappa[A]\), 从而 \(\kappa[A]\) 关于补集运算封闭.

  • 关于不交可列并封闭
    取不交集列 \(\{B_b\}\subset \kappa[A]\), 注意到

    \[A\cap(\cup_n B_n)=\cup_n(A\cap B_n)\in\delta(\mathscr F_0) \]

    故 \(\cup_nB_n\in\kappa[A]\).

  综上, \(\kappa [A]\) 是一个 Dynkin 系.

• 再证明 \(\delta(\mathscr F_0)\) 对于有限交封闭
  事实上, 由于 \(\mathscr F_0\) 是 \(\pi-\)类, 故对于 \(A\in\mathscr F_0\subset\delta(\mathscr F_0)\), 对 \(\forall B\in\mathscr F_0\), 有 \(A\cap B\in\mathscr F_0\subset\delta(\mathscr F_0)\), 从而 \(\mathscr F_0\subset\kappa[A]\). 又 \(\delta(\mathscr F_0)\) 是包含 \(\mathscr F_0\) 的最小 Dynkin 系, 故必有 \(\delta(\mathscr F_0)\subset\kappa[A]\). 因此对于 \(\forall A,B\in\delta(\mathscr F_0)\), 有 \(A\cap B\in\delta(\mathscr F_0)\), 故 \(\delta(\mathscr F_0)\) 对于有限交封闭.

(Step2.) 证明 \(\delta(\mathscr F_0)\) 对于可列并封闭. 取一列 \(\{A_n\}_{n=1}^{+\infty}\subset\delta(\mathscr F_0)\), 记

\[A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}A_n,\quad S_n=\bigcup_{k=1}^nA_k \]

则 \(\{S_n\}\) 是单调递增集列, 且

\[S_n=A_1\cup (A_2\cap A_1^c)\cup\cdots\cup(A_n\cap(\cup_{k=1}^{n-1}A_k)^c)\cup\varnothing\cdots\in\delta(\mathscr F_0) \]

不妨令 \(S_0=\varnothing\), 则

\[A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}A_n=\bigcup_{n=1}^{+\infty}S_n=\bigcup_{n=1}^{+\infty}(S_n\cap S_{n-1}^c)\in\delta(\mathscr F_0) \]

故 \(\delta(\mathscr F_0)\) 对于可列并封闭. #