$(\Omega,\mathscr M,\mu^*)$ 是完备测度空间
[T241104] (Carathéodory) \((\Omega,\mathscr M,\mu^*)\) 是完备测度空间, 其中 \(\mu^*\) 是 \(\Omega\) 上的外测度, \(\mathscr M\) 为 \(\Omega\) 的 \(\mu^*-\)可测子集全体.
Proof: 先证明 \((\Omega,\mathscr M,\mu^*)\) 是测度空间, 再证明它是完备的 (若所有测度为零的集及其子集都是可测的, 则该测度空间完备).
(Step1.) 证明 \((\Omega,\mathscr M,\mu^*)\) 是测度空间
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先证明 \(\mathscr M\) 是 \(\Omega\) 上的一个 $\sigma $ 代数.
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\(\mathscr M\) 非空.
事实上, 对 \(\forall E\subset\Omega\), 注意到 \(\mu^*(\varnothing)=0\), 于是\[\begin{aligned} \mu^*(E) &= \mu^*(\varnothing)+\mu^*(E)\\ &=\mu^*(E\cap\varnothing)+\mu^*(E\cap\varnothing^c)\\ &=\mu^*(E\cap\Omega^c)+\mu^*(E\cap\Omega) \end{aligned} \]即 \(\varnothing,\Omega\) 满足 Carathéodory 条件, 从而 \(\varnothing,\Omega\in\mathscr M\), 即 \(\mathscr M\) 非空.
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\(\mathscr M\) 对于补集运算封闭.
事实上, 对 \(\forall A\in\mathscr M,~\forall E\subset\Omega\), 有\[\begin{aligned} \mu^*(E) &=\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &=\mu^*(E\cap A^c)+\mu^*(E\cap (A^c)^c) \end{aligned} \]即 \(A^c\in\mathscr M\), 故 \(\mathscr M\) 对于补运算封闭.
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\(\mathscr M\) 对于可列并封闭.
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先证明 \(\mathscr M\) 对于有限交运算封闭.
设 \(A,B\in\mathscr M\), 则对 \(\forall E\subset \Omega\), 有\[\begin{aligned} \mu^*(E)&=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A^c\cap E)\\ =&\mu^*(A\cap E)+\mu^*(B\cap(A^c\cap E))+\mu^*(B^c\cap(A^c\cap E))\\ =&\mu^*(A\cap E)+\mu^*((B\cap A^c)\cap E)+\mu^*(B^c\cap(A^c\cap E))\\ =&\mu^*\left(A\cap(A\cup(B\cap A^c))\cap E\right)+\mu^*((B\cap A^c)\cap(A\cup(B\cap A^c))\cap E)\\ &+\mu^*(B^c\cap(A^c\cap E))\\ =&\mu^*((A\cup(B\cap A^c))\cap E)+\mu^*(B^c\cap(A^c\cap E))\\ =&\mu^*((A\cup B)\cap E)+\mu^*((A\cup B)^c\cap E)\\ \end{aligned} \]即 \(A\cup B\in\mathscr M\), 于是 \(\mathscr M\) 对于有限交运算封闭.
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再证明 \(\mathscr M\) 对于可列并封闭, 注意到 \(\mathscr M\) 对于补运算和有限交运算封闭, 因此只需验证 \(\mathscr M\) 对于 不交可列并封闭.
设 \(\{A_n\}_1^{+\infty}\) 是 \(\mathscr M\) 中不相交集列, 令\[S_n:=\bigcup_{k=1}^nA_k,\quad A:=\bigcup_{k=1}^{+\infty}A_k \]由 \(\mathscr M\) 对于补运算和有限交运算封闭可知 \(S_n=(\cap_{k=1}^nA_k^c)^c\in\mathscr M\), 再结合外测度的单调性知
\[\begin{aligned} \mu^*(E)&=\mu^*(E\cap S_n)+\mu^*(E\cap S_n^c)\\ &\ge\mu^*(E\cap S_n)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &=\mu^*((E\cap S_n)\cap S_{n-1})+\mu^*((E\cap S_n)\cap S_{n-1}^c)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &=\mu^*(E\cap S_{n-1})+\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &=\mu^*(E\cap S_{n-2})+\mu^*(E\cap A_{n-1})+\mu^*(E\cap A_n)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &=\cdots\cdots\\ &=\left(\sum_{k=1}^n\mu^*(E\cap A_k)\right)+\mu^*(E\cap A^c) \end{aligned} \]令 \(n\to\infty\), 有
\[\begin{aligned} \mu^*(E)&\ge\left(\sum_{k=1}^{\infty}\mu^*(E\cap A_k)\right)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &\ge\mu^*\left(\bigcup_{n-1}^{\infty}(E\cap A_n)\right)+\mu^*(E\cap A^c)\\ &=\mu^*\left(E\cap A\right)+\mu^*(E\cap A^c) \end{aligned} \]因此 \(A\in\mathscr M\), 即 \(\mathscr M\) 对不交可列并封闭, 从而 \(\mathscr M\) 对于可列并运算封闭.
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综上, \(\mathscr M\) 是 \(\Omega\) 上的一个 $\sigma $ 代数.
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再证明 \(\mu^*\) 是 \(\mathscr M\) 上的测度.
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由外测度的定义知 \(\mu^*(\varnothing)=0\) 且 \(\mu^*\) 非负.
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\(\mu^*\) 满足可列可加性.
由 \(\mathscr M\) 对于可列并运算封闭的证明可知: 设 \(\{A_n\}_1^{+\infty}\) 是 \(\mathscr M\) 中任意不相交集列, 对 \(\forall E\subset\Omega\), 有\[\mu^*(E\cap (\cup_{k=1}^nA_i))=\sum_{k=1}^n\mu^*(E\cap A_k) \]令 \(E=\Omega\), 得
\[\mu^*\left(\bigcup_{k=1}^nA_k\right)=\sum_{k=1}^n\mu^*(A_k) \]从而 \(\mu^*\) 满足有限可加性, 又 \(\mu^*\) 满足次可列可加性, 故 \(\mu^*\) 在 \(\mathscr M\) 上满足可列可加性.
有限可加性和次可列可加性结合等价于可列可加性. 详见:https://www.cnblogs.com/sufewsj/p/18511991
综上, \(\mu^*\) 是 \(\mathscr M\) 上的测度.
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综上, \((\Omega,\mathscr M,\mu^*)\) 是测度空间.
(Step2.) 最后证明 \((\Omega,\mathscr M,\mu^*)\) 是完备测度空间. 由 \(\mathscr M\) 的定义知 \(\mathscr M\) 包含所有的 \(\mu^*-\) 零测度集. #
