T240829 【用Liouville定理证明代数学基本定理】

[T240829] 代数学基本定理: 在复平面上次数大于 \(1\) 的一元多项式至少有一个零点.

引理(Liouville) 有界整函数 \(f(z)\) 必为常数.
证：设 \(|f(z)|\) 有上界 \(M\). 即 \(\forall z\in \C, ~|f(z)|\le M\). 于是由 Cauchy 不等式, 对 \(\forall a\in \C\), 有

\[0\le |f'(a)|\le\frac{M(R)}{R}\le\frac{M}{R} \]

对于一切 \(R\) 都成立. 令 \(R\to+\infty\), 得 \(f'(a)=0\), 再由 \(a\) 得任意性可知 \(f'(z)=0,~z\in\C\), 从而 \(f(z)\) 必为常数.

证：用反证法, 设一元多项式 \(p(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_n~(a_0\neq 0)\) 在 \(z\) 平面上无零点. 由于 \(p(z)\) 在 \(z\) 平面上解析, 故 \(\frac{1}{p(z)}\) 也必在 \(z\) 平面上解析. 注意到

\[\lim\limits_{z\to\infty}p(z)=\infty\Rightarrow \lim\limits_{z\to\infty}\frac{1}{p(z)}=0 \]

故存在 \(R>0\), 当 \(|z|>R\) 时, \(|\frac{1}{p(z)}|<1\). 又 \(\frac{1}{p(z)}\) 在闭圆 \(|z|\le R\) 上连续, 故可设 \(|\frac{1}{p(z)}|\le M\), \(M\) 为正常数, 从而在 \(z\) 平面上

\[\left|\frac{1}{p(z)}\right|<M+1 \]

故 \(\frac{1}{p(z)}\) 在 \(z\) 平面上解析且有界, 由 Liouville 定理可知 \(\frac{1}{p(z)}\) 必为常数, 从而 \(p(z)\) 必为常数, 这与 \(a_0>0\) 矛盾. #