[T240819] Cauchy 积分定理: 设 \(f(z)\) 在 \(z\) 平面上的单连通区域 \(D\) 内解析, \(C\) 为 \(D\) 内的任一条周线, 则
\[\int_Cf(z)~\mathrm dz=0
\]
证：【Goursat证明】
Step1: 若 \(C\) 为 \(D\) 内任一三角形 \(\Delta\). 假设 \(|\int_{\Delta}f(z)~\mathrm dz|=M\), 下证 \(M=0\). 如图, 二等分 \(\Delta\) 的三条边, 两两连接分点, 则 \(\Delta\) 被分解为四个全等的小三角形 \(\Delta_{1\sim 4}\). 注意到
\[M=\int_{\Delta}f(z)~\mathrm dz=\int_{\Delta_1}f(z)~\mathrm dz+\int_{\Delta_2}f(z)~\mathrm dz+\int_{\Delta_3}f(z)~\mathrm dz+\int_{\Delta_4}f(z)~\mathrm dz
\]
故周界 \(\Delta_k~(k=1,2,3,4)\) 中至少有一个使沿着它所取积分不小于 \(\frac M4\). 不妨设这个周界为 \(\Delta^{(1)}=\Delta_1\), \(\int_{\Delta^{(1)}}f(z)~\mathrm dz\ge\frac M4\).
而这个周界 \(\Delta^{(1)}\) 同上又可分成四个全等三角形. 同理又可以在 \(\Delta^{(1)}\) 的小三角中找到三角形 \(\Delta^{(2)}\), 使得
\[\int_{\Delta^{(1)}}f(z)~\mathrm dz\ge\frac {M}{4^2}
\]
显然可将上述做法无限做下去, 可得到具有周界: \(\Delta=\Delta^{(0)},\Delta^{(1)},\cdots,\Delta^{(n)},\cdots\) 的三角序列, 其中每一个都包含后面的三角形, 且满足不等式
\[\int_{\Delta^{(n)}}f(z)~\mathrm dz\ge\frac {M}{4^n}~(n=0,1,2,\cdots)
\]
用 \(U\) 表示周界 \(\Delta\) 的长度, 于是周界 \(\Delta^{(1)},\Delta^{(2)},\cdots,\Delta^{(n)},\cdots\) 的相应长度就是
\[\frac U2,\frac{U}{2^2},\cdots,\frac{U}{2^n},\cdots
\]
下面估计 \(\int_{\Delta^{(n)}}f(z)~\mathrm dz\) 的模. 由于序列中每一个三角形都包含它后面的全部三角形, 且它们的周界长度随 \(n\) 的无限增长而趋于零. 故由闭集套定理, 存在唯一一个点 \(z_0\) 属于这个序列中所有三角形. 由于 \(z_0\in D\), 且 \(f(z)\) 在 \(D\) 内解析, 故在点 \(z_0\) 处 \(f(z)\) 有一个有限导数, 从而, 对无论多小的 \(\varepsilon>0\), 都有一个正数 \(\delta=\delta(\varepsilon)\) 存在, 使当 \(0<|z-z_0|<\delta\) 时, 有
\[\left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-f'(z_0)\right|<\varepsilon
\]
将上式两端 \(|z-z_0|\), 有
\[|f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)|<\varepsilon|z-z_0|
\]
且从一个充分大的 \(n\) 开始, 三角形 \(\Delta^{(n)}\) 都在以 \(z_0\) 为圆心, \(\delta\) 为半径的圆内. 注意到 \(\int_{\Delta^{(n)}}z~\mathrm dz=\int_{\Delta^{(n)}}~\mathrm dz=0\). 故
\[\int_{\Delta^{(n)}}f(z)~\mathrm dz=\int_{\Delta^{(n)}}\left[f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)\right]~\mathrm dz
\]
当 \(z\) 位于 \(\Delta^{(n)}\) 周界上时, 有
\[\left|f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)\right|<\varepsilon|z-z_0|<\frac{\varepsilon U}{2^n}
\]
故
\[\left|\int_{\Delta^{(n)}}f(z)~\mathrm dz\right|\le\int_{\Delta^{(n)}}\left|f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)\right|~\mathrm dz<\varepsilon\cdot\frac{U}{w^n}\cdot\frac{U}{2^n}=\varepsilon\cdot\frac{U^2}{4^n}
\]
又 \(\int_{\Delta^{(n)}}f(z)~\mathrm dz\ge\frac {M}{4^n}\), 故
\[\frac{M}{4^n}<\varepsilon\cdot\frac{U^2}{4^n}\Rightarrow M<\varepsilon U^2
\]
由 \(\varepsilon\) 的任意性知 \(M=0\).
Step2: 设 \(C\) 为 \(D\) 内任一条简单折线 \(P\). 用对角线将 \(P\) 分成有限个三角形:
因为这时沿每条对角线, 积分从彼此正好相反的方向取了两次, 刚好相互抵消. 故由 Step1 可知
\[\int_Pf(z)~\mathrm dz=0.
\]
Step3: 设 \(C\) 为 \(D\) 内任一条周线.
（1）猜想: 对 \(\forall \varepsilon>0\), 存在一条端点在 \(C\) 上并完全在 \(D\) 内的简单折线 \(P\), 使得
\[\left|\int_Cf(z)~\mathrm dz-\int_Pf(z)~\mathrm dz\right|<\varepsilon.
\]
下面证明这个事实. 考虑 \(D\) 内一闭子域 \(\overline G\), 使曲线 \(C\) 整个位于 \(G\) 内. 设 \(G\) 的边界与 \(C\) 间的最小距离为 \(\rho\), 显然 \(\rho>0\). 于是以 \(C\) 上任意点为圆心, \(\rho\) 为半径的圆, 均全含于 \(\overline G\) 内. 从而 \(C\) 上任意两点只要距离小于 \(\rho\), 它们的连接线段必全在 \(\overline G\) 内.
因为 \(f(z)\) 在 \(\overline G\) 上连续, 因而在 \(\overline G\) 上一致连续. 故对 \(\forall\varepsilon>0,~\exists 0<\delta_1=\delta(\varepsilon)\), 使得当 \(z',z''\) 在 \(\overline G\) 上满足 \(|z'-z''|<\delta_1\) 时, 有
\[|f(z')-f(z'')|<\frac{\varepsilon}{2l}
\]
其中 \(l\) 为 \(C\) 的长.
在 \(C\) 上依积分正向取 \(n\) 个点 \(z_0,z_1,\cdots,z_{n-1}\) 分 \(C\) 为 \(n\) 段弧 \(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n\), 使
\[\max\limits_{1\le j\le n}<\delta\le\min\{\delta_1,\rho\}
\]
于是以 \(z_0,z_1,\cdots,z_{n-1}\) 为顶点的简单多边形 \(P\) 全含于 \(\overline G\) 内 (因而全含于 \(D\) 内). \(P\) 的边 \(r_1,r_2,\cdots,r_n\) 分别是 \(\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n\) 所对的弦, 故
\[\begin{aligned}
\left|\int_Cf(z)~\mathrm dz-\int_Pf(z)~\mathrm dz\right|&=\left|\sum\limits_{j=1}^n\int_{\sigma_j}f(z)~\mathrm dz-\sum_{j=1}^n\int_{r_j}f(z)~\mathrm dz\right|\\
&\le\sum_{j=1}^n\left|\int_{\sigma_j}f(z)~\mathrm dz-\int_{r_j}f(z)~\mathrm dz\right|
\end{aligned}
\]
注意到
\[\int_{\sigma_j}f(z_j)~\mathrm dz=f(z_j)(z_j-z_{j-1})=\int_{r_j}f(z_j)~\mathrm dz
\]
于是
\[\begin{aligned}
\left|\int_{\sigma_j}f(z)~\mathrm dz-\int_{r_j}f(z)~\mathrm dz\right|&=\left|\int_{\sigma_j}f(z)~\mathrm dz-\int_{\sigma_j}f(z_j)~\mathrm dz+\int_{r_j}f(z_j)~\mathrm dz-\int_{r_j}f(z)~\mathrm dz\right|\\
&\le\left|\int_{\sigma_j}f(z)~\mathrm dz-\int_{\sigma_j}f(z_j)~\mathrm dz\right|+\left|\int_{r_j}f(z_j)~\mathrm dz-\int_{r_j}f(z)~\mathrm dz\right|\\
&=\left|\int_{\sigma_j}[f(z)-f(z_j)]~\mathrm dz\right|+\left|\int_{r_j}[f(z_j)-f(z)]~\mathrm dz\right|\\
&\le\sup_{z\in\sigma_j}|f(z)-f(z_j)|\cdot(\sigma_j\text{之长} )+\sup_{z\in r_j}|f(z)-f(z_j)|\cdot(r_j\text{之长} )\\
&<\frac{\varepsilon}{2l}(\sigma_j\text{之长}+r_j\text{之长})\\
&<\frac{\varepsilon}{l}\cdot(\sigma_j \text{之长})
\end{aligned}
\]
故
\[\left|\int_Cf(z)~\mathrm dz-\int_Pf(z)~\mathrm dz\right|<\sum_{j=1}^n\frac{\varepsilon}{l}(\sigma_j\text{之长})=\frac{\varepsilon}{l}\cdot l=\varepsilon.
\]
（2）由 Step2 可知
\[\int_Pf(z)~\mathrm dz=0
\]
故
\[\left|\int_Cf(z)~\mathrm dz\right|<\varepsilon
\]
由 \(\varepsilon\) 的任意性可知 \(\int_Cf(z)~\mathrm dz=0\). #
