T240806【2-(一)-1】

[T240806] 设连续函数 \(C: ~z=z(t),~t\in[\alpha,\beta]\), 有 \(z'(t_0)\neq0~~(t_0\in[\alpha,\beta])\), 试证明曲线 \(C\) 在点 \(z(t_0)\) 处有切线.

证：先证明曲线 \(C\) 存在无重点的 \(z(t_0)\) 邻域. 由题设知 \(\exists\delta>0\), 对 \(\forall t_1\in U_{\delta}^{\circ}(t_0)\), 都有 \(z(t_1)\neq z(t_0)\). 否则容易找到一数列 \(\{t_n\}\to t_0\), 使得 \(z(t_n)=z(t_0)\), 于是

\[z'(t_0)=\lim\limits_{t_n\to t_0}\frac{z(t_n)-z(t_0)}{t_n-t_0}=0 \]

这与 \(z'(t_0)\neq 0\) 矛盾. 因此 \(z(t_0)\) 的某邻域内能连接割线 \(\overline{z(t_0)z(t_1)}\).
不妨让 \(t_1\in (t_0,t_0+\delta)\), 即 \(t_1>t_0\). 注意到

\[\arg\frac{z(t_1)-z(t_0)}{t_1-t_0}=\arg\left(z(t_1)-z(t_0)\right) \]

故

\[\lim\limits_{t_1\to t_0}\arg\left(z(t_1)-z(t_0)\right)=\lim\limits_{t_1\to t_0}\arg\frac{z(t_1)-z(t_0)}{t_1-t_0}=\arg\left[\lim\limits_{t_1\to t_0}\frac{z(t_1)-z(t_0)}{t_1-t_0}\right]=\arg z'(t_0) \]

故割线 \(\overline{z(t_0)z(t_1)}\) 有极限位置, 即曲线 \(C\) 在点 \(z(t_0)\) 切线存在且倾角为 \(\arg z'(t_0)\). #