T250805【例2.12】

[T240805] 设复变函数 \(f(z)=u(x,y)+\mathrm i~ v(x,y)\) 在区域 \(D\) 内解析, 且 \(f'(z)\neq0~(z\in D)\). 证明 \(u(x,y)=c_1,~v(x,y)=c_2\) (\(c_1,c_2\) 为常数) 是 \(D\) 内两组正交曲线族.

证：注意到 \(f'(z) = u_x+\mathrm i~v_x\neq0~(z\in D)\), 故 \(u_x,v_x\) 在点 \((x,y)\) 不全为零.
(1) 若在点 \((x,y)\) 上有 \(u_x\neq0\and v_x\neq0\), 则 \(u=c_1\) 的斜率为

\[0=\mathrm du=u_x\mathrm dx+u_y\mathrm dy\Rightarrow \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{u_x}{u_y}:=k_u \]

同理曲线族 \(v=c_2\) 的斜率为

\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{v_x}{v_y}:=k_v \]

故在点 \((x,y)\) 处, 有

\[k_u\cdot k_v=\frac{u_x}{u_y}\cdot\frac{v_x}{v_y}\xlongequal{C.-R.}-1. \]

故俩曲线族正交.
(2) 若在点 \((x,y)\) 上 \(u_x,~v_x\) 只有一个为零, 则由 \(C.-R.\) 方程可知此时过交点的两条切线必然有一条为水平切线, 一条为铅直切线, 显然它们正交. #