[T240803] 证明复变函数可微的充要条件: 设 \(f(z)=u(x,y)+\mathrm{i} v(x,y)\) 在区域 \(D\) 内有定义, 则 \(f(z)\) 在 \(D\) 内一点 \(z=x+\mathrm{i}y\) 可微的充要条件为
（1）\(u(x,y),v(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 可微;
（2）\(u(x,y),v(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 满足 \(C.-R.\) 方程.
上述条件满足时, \(f(z)\) 在点 \(z=x+\mathrm iy\) 的导数可表示为以下形式之一
\[f'(z)=u_x+\mathrm iv_x=v_y-\mathrm iu_y=u_x-\mathrm iu_y=v_y+\mathrm iv_x.
\]
证明 (\(\Longrightarrow\)) 设 \(f(z)\) 在 \(D\) 内一点 \(z\) 处可微, 则
\[\Delta f(z)=f'(z)\Delta z+\eta\Delta z
\]
其中 \(\eta\to0~(\Delta z\to0)\). 令
\[f'(z)=\alpha+\mathrm i\beta,\quad
\Delta z=\Delta x+\mathrm i\Delta y,\quad
\Delta f(z)=\Delta u+\mathrm i\Delta v
\]
则
\[\Delta u+\mathrm i\Delta v=(\alpha+\mathrm i\beta)(\Delta x+\mathrm i\Delta y)+\eta\Delta z=\left(\alpha\Delta x-\beta\Delta y+\eta_1\right)+\mathrm i(\alpha\Delta y+\beta\Delta x+\eta_2)
\]
其中 \(\eta_1=\mathrm{Re}(\eta\Delta z),~\eta_2=\mathrm{Im}(\eta\Delta z)\), 比较实部和虚部可得
\[\begin{aligned}
\Delta u=\alpha\Delta x-\beta\Delta y+\eta_1\\
\Delta v=\alpha\Delta y+\beta\Delta x+\eta_2
\end{aligned}
\]
注意到
\[0\le\left|\frac{\eta_1}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\right|=\frac{|\mathrm{Re}(\eta\Delta z)|}{|\Delta z|}\le\frac{|\eta\Delta z|}{|\Delta z|}=\frac{|\eta|}{|\Delta z|}\cdot\frac{|\Delta z|}{|\Delta z|}=\frac{|\eta|}{|\Delta z|}\to0 ~(\Delta z\to0\Leftrightarrow \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to0)
\]
从而 \(\eta_1\) 是 \(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\) 的高阶无穷小, 同理 \(\eta_2\) 也是 \(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\) 的高阶无穷小. 故由二元函数可微的定义可知 \(u,v\) 在点 \((x,y)\) 处可微, 且
\[u_x=\alpha=v_y,\quad u_y=-\beta=-v_x
\]
即 \(u(x,y),v(x,y)\) 在点 \((x,y)\) 上也满足 \(C.-R.\) 方程.
(\(\Longleftarrow\)) 设 \(u,v\) 在点 \((x,y)\) 可微且满足 \(C.-R.\) 方程. 则由可微的定义知
\[\begin{aligned}
\Delta u=u_x\Delta x+u_y\Delta y+\eta_1,\quad
\Delta v=v_x\Delta x+v_y\Delta y+\eta_2
\end{aligned}
\]
其中 \(\eta_1,\eta_2\) 是 \(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\) 的高阶无穷小. 由 \(C.-R.\) 方程, 不妨设
\[u_x=v_y=\alpha,\quad u_y=-v_x=-\beta
\]
于是
\[\begin{aligned}
\Delta u=\alpha\Delta x-\beta\Delta y+\eta_1,\quad
\Delta v=\beta\Delta x+\alpha\Delta y+\eta_2
\end{aligned}
\]
从而
\[\begin{aligned}
\Delta f&=\Delta u+\mathrm i\Delta y=(\alpha\Delta x-\beta\Delta y+\eta_1)+\mathrm i(\beta\Delta x+\alpha\Delta y+\eta_2)\\
&=(\alpha+\mathrm i\beta)(\Delta x+\mathrm{i}\Delta y)+(\eta_1+\mathrm i\eta_2)\\
\Longrightarrow \frac{\Delta f}{\Delta z}&=\alpha+\mathrm i\beta+\eta
\end{aligned}
\]
其中 \(\eta=\frac{\eta_1+\mathrm i\eta_2}{\Delta x+\mathrm{i}\Delta y}\to0~(\Delta z\to0)\). 于是
\[\lim\limits_{\Delta z\to0}\frac{\Delta f}{\Delta z}=\alpha+\mathrm i\beta
\]
故 \(f'(z)=\alpha+\mathrm i\beta=u_x+\mathrm iv_x=v_y-\mathrm iu_y=u_x-\mathrm iu_y=v_y+\mathrm iv_x\). #
【参考】复变函数论, 钟玉泉.
