T240722【1-(二)-3】

[T240722] 证明: \(p,q\) 为互质的整数 \(\Longrightarrow \forall z\in \C,~(\sqrt[q]z)^p=\sqrt[q]{z^p}\). 若 \(p,q\) 的最大公因数 \(d>1\), 结论如何?

证：设 \(p,q\in\mathbb{Z}\and p\perp q,~~z=r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)\), 则

\[\begin{aligned} \left(\sqrt[q]{z}\right)^p&=r^{\frac pq}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{q}+\mathrm i\sin\frac{\theta+2k\pi}{q}\right)^p\\ &=r^{\frac pq}\left(\cos\frac{p\theta+2pk\pi}{q}+\mathrm i\sin\frac{p\theta+2pk\pi}{q}\right),~~ k=0,1,\cdots,q-1 \end{aligned} \tag{1} \]

\[\begin{aligned} \sqrt[q]{z^p}&=r^{\frac pq}\left(\cos p\theta+\mathrm i\sin p\theta\right)^{\frac1q}\\ &=r^{\frac pq}\left(\cos\frac{p\theta+2l\pi}{q}+\mathrm i\sin\frac{p\theta+2l\pi}{q}\right),~~ l=0,1,\cdots,q-1 \end{aligned} \tag{2} \]

由于 \(p\perp q\), 故 \(\exists u,v\mathbb{N}_+,~s.t. pu+qv=1\). 注意到式 \((1)\) 和 \((2)\) 所表示的复数的模长都是 \(r^{\frac pq}\), 而式 \((1)\) 中各式的辐角可写作 \(\frac{p\theta+2pk\pi}{q},~~ k\in\mathbb{Z}\), 且 \((2)\) 中各式的辐角满足

\[\frac{p\theta+2l\pi}{q}=\frac{p\theta+2(pu+qv)l\pi}{q}=\frac{p\theta+2pul\pi}{q}+2vl\pi \]

注意到 \(ul\in\mathbb{Z}\), 故 \((2)\) 中各式的辐角都在 \((1)\) 中各式表示的辐角集合中, 又两式都表示了 \(q\) 个不同的辐角, 故两式表示的辐角必对应相等, 故 \(\left(\sqrt[q]{z}\right)^p=\sqrt[q]{z^p}\).

当 \((p,q)=d>1\). 不妨设 \(p=dp',~q=dq'\), 其中 \((p',q')=1\). 则同样有式 \((1)\) 和 \((2)\). 显然此时 \(|\left(\sqrt[q]{z}\right)^p|=|\sqrt[q]{z^p}|=r^{\frac pq}\), 但两者的辐角分别为

\[\frac{p'}{q'}\theta+\frac{2p'k\pi}{q'},\quad k=0,1,\cdots,q'-1 \]

和

\[\frac{p'}{q'}\theta+\frac{2l\pi}{q},\quad l=0,1,\cdots,q-1 \]

显然此时两辐角数集不一致, \(\left(\sqrt[q]{z}\right)^p\) 比 \(\sqrt[q]{z^p}\) 少 \(q-q'\)​ 个值.