T240722【1-(二)-3】

合集 - 随缘每日一题 Ⅱ(8)

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[T240722] 证明: $p,q$ 为互质的整数 $\Longrightarrow \forall z\in \C,~(\sqrt[q]z)^p=\sqrt[q]{z^p}$. 若 $p,q$ 的最大公因数 $d>1$, 结论如何?

证：设 $p,q\in\mathbb{Z}\and p\perp q,~~z=r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$, 则

$$\begin{aligned} \left(\sqrt[q]{z}\right)^p&=r^{\frac pq}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{q}+\mathrm i\sin\frac{\theta+2k\pi}{q}\right)^p\\ &=r^{\frac pq}\left(\cos\frac{p\theta+2pk\pi}{q}+\mathrm i\sin\frac{p\theta+2pk\pi}{q}\right),~~ k=0,1,\cdots,q-1 \end{aligned} \tag{1}$$

$$\begin{aligned} \sqrt[q]{z^p}&=r^{\frac pq}\left(\cos p\theta+\mathrm i\sin p\theta\right)^{\frac1q}\\ &=r^{\frac pq}\left(\cos\frac{p\theta+2l\pi}{q}+\mathrm i\sin\frac{p\theta+2l\pi}{q}\right),~~ l=0,1,\cdots,q-1 \end{aligned} \tag{2}$$

由于 $p\perp q$, 故 $\exists u,v\mathbb{N}_+,~s.t. pu+qv=1$. 注意到式 $(1)$ 和 $(2)$ 所表示的复数的模长都是 $r^{\frac pq}$, 而式 $(1)$ 中各式的辐角可写作 $\frac{p\theta+2pk\pi}{q},~~ k\in\mathbb{Z}$, 且 $(2)$ 中各式的辐角满足

$$\frac{p\theta+2l\pi}{q}=\frac{p\theta+2(pu+qv)l\pi}{q}=\frac{p\theta+2pul\pi}{q}+2vl\pi$$

注意到 $ul\in\mathbb{Z}$, 故 $(2)$ 中各式的辐角都在 $(1)$ 中各式表示的辐角集合中, 又两式都表示了 $q$ 个不同的辐角, 故两式表示的辐角必对应相等, 故 $\left(\sqrt[q]{z}\right)^p=\sqrt[q]{z^p}$.

当 $(p,q)=d>1$. 不妨设 $p=dp',~q=dq'$, 其中 $(p',q')=1$. 则同样有式 $(1)$ 和 $(2)$. 显然此时 $|\left(\sqrt[q]{z}\right)^p|=|\sqrt[q]{z^p}|=r^{\frac pq}$, 但两者的辐角分别为

$$\frac{p'}{q'}\theta+\frac{2p'k\pi}{q'},\quad k=0,1,\cdots,q'-1$$

和

$$\frac{p'}{q'}\theta+\frac{2l\pi}{q},\quad l=0,1,\cdots,q-1$$

显然此时两辐角数集不一致, $\left(\sqrt[q]{z}\right)^p$ 比 $\sqrt[q]{z^p}$ 少 $q-q'$​ 个值.