T240719【1-(一)-19】

[T240719] 证明任何有界复数列必有收敛子数列.

证：设 \(\{z_n\}\) 为有界复数列, 则 \(\exists M>0,~s.t.~|z_n|\le M~(n\in\mathbb{N}_+)\). 不妨设 \(z_n=x_n+\mathrm{i}y_n\), 则有

\[|x_n|\le M,\quad |y_n|\le M,\quad n\in\mathbb{N}_+ \]

即 \(\{x_n\},\{y_n\}\) 为有界实数列, 由实数的致密性定理可知 \(\{x_n\}\) 和 \(\{y_n\}\) 必有收敛子数列, 不妨设 \(\{x_ {n_k}\}\) 为 \(\{x_n\}\) 的收敛子数列, 注意到 \(\{y_{n_k}\}\) 也是有界实数列, 因此也存在收敛子数列 \(\{y_{n_{k_l}}\}\), 显然 \(\{x_{n_{k_l}}\}\) 也是收敛的, 于是 \(\{z_{n_{k_l}}\}\) 是收敛子数列.