T240718【1-(一)-13】

[T240718] 证明复变函数 \(\arg z ~(-\pi<\arg z\le \pi)\) 在负实轴上 (包括原点) 不连续, 除此之外在 \(z\) 平面上处处连续.

证：当 \(z=0\) 时, \(\arg z\) 无意义, 自然不连续. 在负实轴上任取一点 \(z_0\), 当 \(z\) 从上半平面趋于 \(z_0\) 时有 \(\arg z>\frac{\pi}{2}\), 当 \(z\) 从下半平面趋于 \(z_0\) 时有 \(\arg z<-\frac{\pi}2\), 显然 \(\arg z\) 在点 \(z_0\) 不连续, 从而在负实轴上不连续.

任取 \(z_0\neq0\) 且 \(z_0\) 不在负实轴上. 对 \(\forall \varepsilon>0(<1)\), 在复平面上以 \(z_0\) 为圆心作圆, 使圆内不包含负实轴上的点, 且此圆是含在张角为 \(2\varepsilon\) 的角形内的最大之圆, 记其半径为 \(\delta>0~(=|z_0|\sin\varepsilon\le|z_0|)\). 则当 \(|z-z_0|<\delta\) 时, 有

\[|\arg z-\arg z_0|<\varepsilon \]

即 \(\arg z\) 在点 \(z_0\) 处连续, 再由 \(z_0\) 的任意性可知, 复变函数 \(\arg z ~(-\pi<\arg z\le \pi)\) 在除去负实轴上 (包括原点) 的 \(z\) 平面上处处连续. #