常微分方程选题

合集 - 常微分方程(14)

1.【习题】2.1 分离变量法2024-01-222.【习题】2.2 变量替换法2024-01-223.【习题】2.3 积分因子法2024-01-234.【习题】2.4 参数法2024-01-235.【习题】3.1 Picard存在唯一性定理2024-01-256.【习题】3.2 不动点定理和解的存在性2024-02-097.【习题】3.3 解的延拓2024-02-258.【习题】3.4 解对初值和参数的连续性和可微性2024-02-259.【习题】4.2 高阶微分方程的一般理论2024-02-2710.【习题】4.3 常系数齐次线性方程的待定指数函数法2024-02-2911.【习题】4.4 常系数非齐次线性方程的待定系数法2024-03-0112.【习题】5.1 一阶线性微分方程的基本概念2024-03-0213.【习题】5.2 一阶常系数线性微分方程组2024-03-02

14.常微分方程选题2024-03-22

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常微分方程

一、基本概念

1. 常微分方程
2. $n$ 阶线性微分方程
3. 齐次方程
4. 常数变易法
5. Bernoulli 方程：$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=P(x)y+Q(x)y^n, \ n\neq0,1, \ P(x),Q(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续.
6. Riccati 方程：$\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=P(x)y^2+Q(x)y+f(x)$.
7. 全微分方程
8. 积分因子
9. Picard 存在唯一性定理
   1. 将初值问题化为积分方程, 写出 Picard 逐步逼近序列
   2. 证明函数序列有定义且连续
   3. 证明函数序列一致收敛（数学归纳法）
   4. 证明函数序列的极限函数就是初值问题的连续解
   5. 证明解的唯一性
10. Banach 压缩映象定理：完备的距离空间中的压缩映射在空间中必存在唯一的不动点.
    1. 完备的距离空间：空间中的任意 Cauchy 点列必收敛于空间中的一点.
    2. 压缩映射：$\rho(Tx,Ty)\le\theta\rho(x,y), \ \theta\in[0,1]$.
11. 解的延拓定理：连续+满足局部 Lipschitz 条件
12. Gronwall 不等式
13. 解关于方程右端函数、初值和参数的连续性
14. Wronski 行列式
15. $n$ 阶齐次线性方程的 $n$ 个解线性无关当且仅当它们的 Wronski 行列式不为零.
16. Liouville 公式
17. Euler 方程：$x^n\frac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}+a_1x^{n-1}\frac{\mathrm d^{n-1}y}{\mathrm dx^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+a_ny=0$. 可化为常系数齐次线性方程.
18. 一阶线性微分方程组
19. 基解矩阵

二、计算题

1. $(x-y-1)\mathrm dx+(4y+x-1)\mathrm dy=0$.
   解：可化为齐次的方程

2. $(y+xy^2)\mathrm dx+(x-x^2y)\mathrm dy=0$.
   解：变量替换法. 将方程化为 $y(1+xy)\mathrm dx+x(1-xy)\mathrm dy=0$, 令 $z=xy$. 也可凑微分.

3. $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{1}{x\sin ^2xy}-\frac yx$.
   解：变量替换法. 令 $xy=u$.

4. $x^2\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x^2y^2+xy+1$.
   解：容易化为 Riccati 方程和看出它的一个特解, 化为 Bernoulli 方程, 再化为一阶线性方程.

5. $y'+y^2-2y\sin x=\cos x-\sin^2x$.
   解：这是 Riccati 方程, 容易看出它的一个特解 $y=\sin x$.

6. $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=(x+1)^2+(4y+1)^2+8xy+1$.
   解：令 $X=x+1,Y=4y+1$.

7. $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{2x^3+3xy^2+x}{3x^2y+2y^3-y}$.
   解：令 $u=x^2,v=y^2$.

8. $(2x^2y^2+y)\mathrm dx+(x^3y-x)\mathrm dy=0$.
   解：可用待定指数法, 设积分因子为 $\mu=x^{\alpha}y^{\beta}$.

9. $(y')^3-4yy'=0$.
   解：$y'(y'-2\sqrt y)(y'+2\sqrt y)=0$.

10. $y^2(1+y'^2)=1$.
    解：令 $y'=p$, 再写出方程的参数式.

11. $y'^2=4y^3(1-y)$.
    解：分离变量.

12. $y'^3+y^3-3yy'=0$.
    解：令 $y'=p, \ y=pt$.

13. $y'^3+y'^2-y'+1=0$.
    解：显然关于 $y'$ 的多项式必有根.

14. $x''=1+x'^2$.
    解：令 $x'=y$.

15. $\frac{\mathrm d^4x}{\mathrm dt^4}+2\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+x=0$.
    解：常系数齐次线性方程.

16. $x^3\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}+x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-4x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=0$.
    解：Euler 方程. 令 $x=e^t$, 记 $D=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$. 则 $D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=D^3y-2D^2y-3Dy=0$.

17. $x^2y''+2x^2\tan y\cdot y'+xy'-\sin y\cos y=0$.
    解：作变换 $u=\tan y$, 化为 Euler 方程.

18. $\frac{\mathrm d^3x}{\mathrm dt^3}-7\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+16\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}-12x=-20t^3e^{2t}$.
    解：常系数非齐次线性方程.

19. $\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+x=\sin t-\cos 2t$.
    解：叠加原理.

20. $\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+x=\frac{1}{\sin^3t}$.
    解：常数变易法.

21. $\begin{cases}x'+y'=y+z\\y'+z'=z+x\\z'+x'=x+y\end{cases}$.
    解：化为常系数齐次线性方程组.

22. 分别用空间分解法和待定系数法求解 $X'=\pmatrix{3&4&-10\\2&1&-2\\2&2&-5}X$.
    解：常系数齐次线性方程组.

23. $X'=\pmatrix{-1&2\\-2&3}X+\binom{1}{0}$.
    解：常系数非齐次线性方程组.

24. 讨论方程组 $\begin{cases}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=ax+by\\\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=cy\end{cases}$ 的奇点类型, 其中 $a,b,c$ 为常数且 $ac\neq0$.

25. 求 Bernoulli 方程的积分因子和通解.
    解：将 Bernoulli 方程化为一阶线性微分方程.

26. 求 $\begin{cases}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x+y^2\\y(0)=1\end{cases}, \ R: \ |x|\le\frac12, \ |y-1|\le 1$ 的第二次近似解, 并给出误差估计.
    解：公式

    $$\varphi_0(x)=y_0,\quad \varphi_n(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt, \ n>0\\ |\varphi_n(x)-\varphi(x)|\le\frac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1}$$

27. 将初值问题

    $$\begin{cases} \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=-2\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}-5y+3\\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+2y \end{cases}, \quad x(0)=0, \ x'(0)=0, \ y(0)=1.$$

    化为一阶线性微分方程组, 并求其通解.

28. 用逐步逼近法求方程组 $X'(t)=\pmatrix{1&0\\-1&1}X(t)+\binom01, \ X(t)=\binom{x_1(t)}{x_2(t)}$ 满足初始条件 $X(0)=\binom00$ 的第一次、第二次近似解.
    解：由 Picard 逼近序列

    $$\varphi_0(t)=X(t_0),\quad \varphi_n(t)=X(t_0)\int_{t_0}^t[A(s)X(s)+F(s)]\mathrm ds.$$

29. 设 $f(x)$ 满足 $f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}$, $f'(0)$ 存在, 求 $f(x)$ 表达式.
    解：导数的定义.

30. 求 $y(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots$ 满足的微分方程, 并求 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n)!}$.

31. 求一曲线, 使得曲线上任一点 $P$ 的切线方向 $\overrightarrow{PQ}$ 与向径 $\overrightarrow{OP}$ 的交角等于 $45^{\circ}$.
    解：画图

32. 对方程 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=y^2$ 在区域 $G=\{(x,y)||x|<4,|y|<2\}$ 内, 讨论过点 $(0,0),(1,1)$ 以及 $(3,-1)$ 的解的饱和区间.
    解：显然满足延拓定理, 画图较为方便.

33. 已知 $x_1(t)=t$ 是方程 $x''+\frac{t}{1+t^2}x'-\frac{x}{1+t^2}=0$ 的解, 求其通解.
    解：用 Liouville 公式

34. 已知 $x_1(t)=t,x_2(t)=\frac{t^2+t+1}{t+1}$ 是方程 $(t^2-1)x''+4tx'+2x=6t$ 的两个解, 求其通解.
    解：用 Liouville 公式

二、证明题

1. 若 $y=y^*(x)$ 是一阶齐次线性方程 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y$ 的非零解, 而 $y=\bar y$ 是一阶非齐次线性方程 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y+q(x)$ 的解. 证明: 一阶非齐次线性方程 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y+q(x)$ 的通解为 $y=cy^*(x)+\bar y(x)$, 其中 $c$ 为任意常数.
   证：令 $y=z+\bar y$.

2. 证明初值问题 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x^2+e^{-y^2}, \ y(0)=0$ 的解 $y=\varphi(x)$ 在 $[0,\frac12]$ 上存在, 且当 $x\in[0,\frac12]$ 时, $|\varphi(x)\le1$.
   证：写出 Picard 逐步逼近序列, 利用误差估计式放缩.

3. 设 $f(x,y)$ 在整个平面上连续有界, 且 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 也连续, 试证方程 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y)$ 的每一个解的饱和区间都是 $(-\infty,+\infty)$.
   证：考虑任一点 $(x_0,y_0)$ 的解, 可以作两条斜率分别为 $M$ 和 $-M$ 的直线, 于是 $y$ 必在这两条直线之间.

4. 设 $f(x,y)$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $\alpha<x<\beta, \ -\infty<y<+\infty$ 内连续, 且对于 $\forall[a,b]\subset(\alpha,\beta), \ \exists N>0, \ s.t.$

   $$\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\le N, \quad a\le x\le b, \ -\infty<y<+\infty$$

   试证 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y)$ 的每一个解的饱和区间为 $(\alpha,\beta)$.
   证：考虑区间 $[\alpha+\varepsilon,\beta-\varepsilon]$.

5. 设 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=(y^2-a^2)f(x,y)$, 其中 $f(x,y),f'_y(x,y)$ 在 $xOy$ 面上连续. 试证明: 对 $\forall x_0, \ |y_0|<a$, 满足初始条件 $y(x_0)=y_0$ 的解 $y(x)$ 都在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上存在.
   证：显然满足解的存在唯一定理和延拓定理.

6. 设 $u(x)$ 是区间 $x_0\le x\le x_1$ 上的连续函数, 且当 $x_0\le x\le x_1$ 时, 成立不等式 $u(x)\le\int_{x_0}^x\left(\alpha u(t)+\beta\right)\mathrm dt$. 其中, $\alpha,\beta>0$ 是常数, 那么成立不等式 $u(x)\le\frac{\beta}{\alpha}\left(e^{\alpha(x-t)}-1\right)$.
   证：利用 Gronwall 不等式.

7. 证明解关于方程右端函数的连续性定理.
   证：利用有限覆盖定理.

8. 证明 $n$ 阶齐次线性方程 $L[x]=0$ 一定存在 $n$ 个线性无关的解; $n$ 阶非齐次线性方程 $L[x]=f(t)$ 最多存在 $n+1$ 个线性无关解.

9. 设 $x=x_1(t), \ x=x_2(t)$ 是微分方程 $x''+x=0$ 的满足初始条件

   $$x_1(0)=0,\quad x_1'(0)=1,\\ x_2(0)=1,\quad x_2'(0)=0$$

   的解, 试不具体求出 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 而直接证明

     (1) $x_1'(t)=x_2(t),\quad x_2'(t)=-x_1(t)$;

     (2) $x_1^2(t)+x_2^2(t)\equiv1$.

10. 证明 Liouville 公式: 设 $X_1(t),\cdots,X_n(t)$ 是齐次线性方程组 $X'(t)=A(t)X(t)$ 的任意 $n$ 个解, 则它们的 Wronski 行列式 $W(t)$ 满足一阶线性微分方程

    $$W'(t)=[a_{11}(t)+a_{22}(t)+\cdots+a_{nn}(t)]W(t)$$

    因而有

    $$W(t)=W(t_0)\cdot e^{\int_{t_0}^t[a_{11}(s)+\cdots+a_{nn}(s)]\mathrm ds}, \ t,t_0\in[a,b].$$

11. 设在方程 $\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+3\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+2x=f(t)$ 中, $f(t)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续, 且 $\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=0$, 试证明: 对方程的任意解 $x(t)$, 均有 $\lim\limits_{t\to+\infty}x(t)=0$.

12. 设 $A$ 为 $n$ 阶常数方阵, $\Phi(t)$ 是方程组 $X'=AX$ 的标准基解矩阵, 证明 $\Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)=\Phi(t-t_0)$, 其中 $t_0$ 为某一值.

13. 若 $\Phi(t),\Psi(t)$ 是齐次线性方程组 $X'(t)=A(t)X(t)$ 在区间 $[a,b]$ 上的两个基解矩阵, 则存在一个非奇异常数 $n\times n$ 矩阵 $C$, 使在 $[a,b]$ 上有 $\Psi(t)=\Phi(t)C$.

14. 设 $m$ 不是 $A$ 的特征根, 试证明非齐次线性方程组 $X'=AX+ce^{mt}$ 有一解形如 $\varphi(t)=pe^{mt}$, 其中 $c,p$ 是常数列向量.