常微分方程选题

常微分方程

一、基本概念

1. 常微分方程
2. \(n\) 阶线性微分方程
3. 齐次方程
4. 常数变易法
5. Bernoulli 方程：\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=P(x)y+Q(x)y^n, \ n\neq0,1, \ P(x),Q(x)\) 在 \((a,b)\) 上连续.
6. Riccati 方程：\(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=P(x)y^2+Q(x)y+f(x)\).
7. 全微分方程
8. 积分因子
9. Picard 存在唯一性定理
   1. 将初值问题化为积分方程, 写出 Picard 逐步逼近序列
   2. 证明函数序列有定义且连续
   3. 证明函数序列一致收敛（数学归纳法）
   4. 证明函数序列的极限函数就是初值问题的连续解
   5. 证明解的唯一性
10. Banach 压缩映象定理：完备的距离空间中的压缩映射在空间中必存在唯一的不动点.
    1. 完备的距离空间：空间中的任意 Cauchy 点列必收敛于空间中的一点.
    2. 压缩映射：\(\rho(Tx,Ty)\le\theta\rho(x,y), \ \theta\in[0,1]\).
11. 解的延拓定理：连续+满足局部 Lipschitz 条件
12. Gronwall 不等式
13. 解关于方程右端函数、初值和参数的连续性
14. Wronski 行列式
15. \(n\) 阶齐次线性方程的 \(n\) 个解线性无关当且仅当它们的 Wronski 行列式不为零.
16. Liouville 公式
17. Euler 方程：\(x^n\frac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}+a_1x^{n-1}\frac{\mathrm d^{n-1}y}{\mathrm dx^{n-1}}+\cdots+a_{n-1}x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+a_ny=0\). 可化为常系数齐次线性方程.
18. 一阶线性微分方程组
19. 基解矩阵

二、计算题

1. \((x-y-1)\mathrm dx+(4y+x-1)\mathrm dy=0\).
   解：可化为齐次的方程

2. \((y+xy^2)\mathrm dx+(x-x^2y)\mathrm dy=0\).
   解：变量替换法. 将方程化为 \(y(1+xy)\mathrm dx+x(1-xy)\mathrm dy=0\), 令 \(z=xy\). 也可凑微分.

3. \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{1}{x\sin ^2xy}-\frac yx\).
   解：变量替换法. 令 \(xy=u\).

4. \(x^2\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x^2y^2+xy+1\).
   解：容易化为 Riccati 方程和看出它的一个特解, 化为 Bernoulli 方程, 再化为一阶线性方程.

5. \(y'+y^2-2y\sin x=\cos x-\sin^2x\).
   解：这是 Riccati 方程, 容易看出它的一个特解 \(y=\sin x\).

6. \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=(x+1)^2+(4y+1)^2+8xy+1\).
   解：令 \(X=x+1,Y=4y+1\).

7. \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{2x^3+3xy^2+x}{3x^2y+2y^3-y}\).
   解：令 \(u=x^2,v=y^2\).

8. \((2x^2y^2+y)\mathrm dx+(x^3y-x)\mathrm dy=0\).
   解：可用待定指数法, 设积分因子为 \(\mu=x^{\alpha}y^{\beta}\).

9. \((y')^3-4yy'=0\).
   解：\(y'(y'-2\sqrt y)(y'+2\sqrt y)=0\).

10. \(y^2(1+y'^2)=1\).
    解：令 \(y'=p\), 再写出方程的参数式.

11. \(y'^2=4y^3(1-y)\).
    解：分离变量.

12. \(y'^3+y^3-3yy'=0\).
    解：令 \(y'=p, \ y=pt\).

13. \(y'^3+y'^2-y'+1=0\).
    解：显然关于 \(y'\) 的多项式必有根.

14. \(x''=1+x'^2\).
    解：令 \(x'=y\).

15. \(\frac{\mathrm d^4x}{\mathrm dt^4}+2\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+x=0\).
    解：常系数齐次线性方程.

16. \(x^3\frac{\mathrm d^3y}{\mathrm dx^3}+x^2\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}-4x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=0\).
    解：Euler 方程. 令 \(x=e^t\), 记 \(D=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\). 则 \(D(D-1)(D-2)y+D(D-1)y-4Dy=D^3y-2D^2y-3Dy=0\).

17. \(x^2y''+2x^2\tan y\cdot y'+xy'-\sin y\cos y=0\).
    解：作变换 \(u=\tan y\), 化为 Euler 方程.

18. \(\frac{\mathrm d^3x}{\mathrm dt^3}-7\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+16\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}-12x=-20t^3e^{2t}\).
    解：常系数非齐次线性方程.

19. \(\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+x=\sin t-\cos 2t\).
    解：叠加原理.

20. \(\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+x=\frac{1}{\sin^3t}\).
    解：常数变易法.

21. \(\begin{cases}x'+y'=y+z\\y'+z'=z+x\\z'+x'=x+y\end{cases}\).
    解：化为常系数齐次线性方程组.

22. 分别用空间分解法和待定系数法求解 \(X'=\pmatrix{3&4&-10\\2&1&-2\\2&2&-5}X\).
    解：常系数齐次线性方程组.

23. \(X'=\pmatrix{-1&2\\-2&3}X+\binom{1}{0}\).
    解：常系数非齐次线性方程组.

24. 讨论方程组 \(\begin{cases}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=ax+by\\\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=cy\end{cases}\) 的奇点类型, 其中 \(a,b,c\) 为常数且 \(ac\neq0\).

25. 求 Bernoulli 方程的积分因子和通解.
    解：将 Bernoulli 方程化为一阶线性微分方程.

26. 求 \(\begin{cases}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x+y^2\\y(0)=1\end{cases}, \ R: \ |x|\le\frac12, \ |y-1|\le 1\) 的第二次近似解, 并给出误差估计.
    解：公式

    \[\varphi_0(x)=y_0,\quad \varphi_n(x)=y_0+\int_{x_0}^{x}f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm dt, \ n>0\\ |\varphi_n(x)-\varphi(x)|\le\frac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1} \]

27. 将初值问题

    \[\begin{cases} \frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}=-2\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}-5y+3\\ \frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+2y \end{cases}, \quad x(0)=0, \ x'(0)=0, \ y(0)=1. \]

    化为一阶线性微分方程组, 并求其通解.

28. 用逐步逼近法求方程组 \(X'(t)=\pmatrix{1&0\\-1&1}X(t)+\binom01, \ X(t)=\binom{x_1(t)}{x_2(t)}\) 满足初始条件 \(X(0)=\binom00\) 的第一次、第二次近似解.
    解：由 Picard 逼近序列

    \[\varphi_0(t)=X(t_0),\quad \varphi_n(t)=X(t_0)\int_{t_0}^t[A(s)X(s)+F(s)]\mathrm ds. \]

29. 设 \(f(x)\) 满足 \(f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\), \(f'(0)\) 存在, 求 \(f(x)\) 表达式.
    解：导数的定义.

30. 求 \(y(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots\) 满足的微分方程, 并求 \(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n)!}\).

31. 求一曲线, 使得曲线上任一点 \(P\) 的切线方向 \(\overrightarrow{PQ}\) 与向径 \(\overrightarrow{OP}\) 的交角等于 \(45^{\circ}\).
    解：画图

32. 对方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=y^2\) 在区域 \(G=\{(x,y)||x|<4,|y|<2\}\) 内, 讨论过点 \((0,0),(1,1)\) 以及 \((3,-1)\) 的解的饱和区间.
    解：显然满足延拓定理, 画图较为方便.

33. 已知 \(x_1(t)=t\) 是方程 \(x''+\frac{t}{1+t^2}x'-\frac{x}{1+t^2}=0\) 的解, 求其通解.
    解：用 Liouville 公式

34. 已知 \(x_1(t)=t,x_2(t)=\frac{t^2+t+1}{t+1}\) 是方程 \((t^2-1)x''+4tx'+2x=6t\) 的两个解, 求其通解.
    解：用 Liouville 公式

二、证明题

1. 若 \(y=y^*(x)\) 是一阶齐次线性方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y\) 的非零解, 而 \(y=\bar y\) 是一阶非齐次线性方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y+q(x)\) 的解. 证明: 一阶非齐次线性方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y+q(x)\) 的通解为 \(y=cy^*(x)+\bar y(x)\), 其中 \(c\) 为任意常数.
   证：令 \(y=z+\bar y\).

2. 证明初值问题 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=x^2+e^{-y^2}, \ y(0)=0\) 的解 \(y=\varphi(x)\) 在 \([0,\frac12]\) 上存在, 且当 \(x\in[0,\frac12]\) 时, \(|\varphi(x)\le1\).
   证：写出 Picard 逐步逼近序列, 利用误差估计式放缩.

3. 设 \(f(x,y)\) 在整个平面上连续有界, 且 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 也连续, 试证方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y)\) 的每一个解的饱和区间都是 \((-\infty,+\infty)\).
   证：考虑任一点 \((x_0,y_0)\) 的解, 可以作两条斜率分别为 \(M\) 和 \(-M\) 的直线, 于是 \(y\) 必在这两条直线之间.

4. 设 \(f(x,y)\) 和 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 在 \(\alpha<x<\beta, \ -\infty<y<+\infty\) 内连续, 且对于 \(\forall[a,b]\subset(\alpha,\beta), \ \exists N>0, \ s.t.\)

   \[\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|\le N, \quad a\le x\le b, \ -\infty<y<+\infty \]

   试证 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=f(x,y)\) 的每一个解的饱和区间为 \((\alpha,\beta)\).
   证：考虑区间 \([\alpha+\varepsilon,\beta-\varepsilon]\).

5. 设 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=(y^2-a^2)f(x,y)\), 其中 \(f(x,y),f'_y(x,y)\) 在 \(xOy\) 面上连续. 试证明: 对 \(\forall x_0, \ |y_0|<a\), 满足初始条件 \(y(x_0)=y_0\) 的解 \(y(x)\) 都在区间 \((-\infty,+\infty)\) 上存在.
   证：显然满足解的存在唯一定理和延拓定理.

6. 设 \(u(x)\) 是区间 \(x_0\le x\le x_1\) 上的连续函数, 且当 \(x_0\le x\le x_1\) 时, 成立不等式 \(u(x)\le\int_{x_0}^x\left(\alpha u(t)+\beta\right)\mathrm dt\). 其中, \(\alpha,\beta>0\) 是常数, 那么成立不等式 \(u(x)\le\frac{\beta}{\alpha}\left(e^{\alpha(x-t)}-1\right)\).
   证：利用 Gronwall 不等式.

7. 证明解关于方程右端函数的连续性定理.
   证：利用有限覆盖定理.

8. 证明 \(n\) 阶齐次线性方程 \(L[x]=0\) 一定存在 \(n\) 个线性无关的解; \(n\) 阶非齐次线性方程 \(L[x]=f(t)\) 最多存在 \(n+1\) 个线性无关解.

9. 设 \(x=x_1(t), \ x=x_2(t)\) 是微分方程 \(x''+x=0\) 的满足初始条件

   \[x_1(0)=0,\quad x_1'(0)=1,\\ x_2(0)=1,\quad x_2'(0)=0 \]

   的解, 试不具体求出 \(x_1(t)\) 和 \(x_2(t)\) 而直接证明

     (1) \(x_1'(t)=x_2(t),\quad x_2'(t)=-x_1(t)\);

     (2) \(x_1^2(t)+x_2^2(t)\equiv1\).

10. 证明 Liouville 公式: 设 \(X_1(t),\cdots,X_n(t)\) 是齐次线性方程组 \(X'(t)=A(t)X(t)\) 的任意 \(n\) 个解, 则它们的 Wronski 行列式 \(W(t)\) 满足一阶线性微分方程

    \[W'(t)=[a_{11}(t)+a_{22}(t)+\cdots+a_{nn}(t)]W(t) \]

    因而有

    \[W(t)=W(t_0)\cdot e^{\int_{t_0}^t[a_{11}(s)+\cdots+a_{nn}(s)]\mathrm ds}, \ t,t_0\in[a,b]. \]

11. 设在方程 \(\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+3\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}+2x=f(t)\) 中, \(f(t)\) 在 \([a,+\infty)\) 上连续, 且 \(\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=0\), 试证明: 对方程的任意解 \(x(t)\), 均有 \(\lim\limits_{t\to+\infty}x(t)=0\).

12. 设 \(A\) 为 \(n\) 阶常数方阵, \(\Phi(t)\) 是方程组 \(X'=AX\) 的标准基解矩阵, 证明 \(\Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)=\Phi(t-t_0)\), 其中 \(t_0\) 为某一值.

13. 若 \(\Phi(t),\Psi(t)\) 是齐次线性方程组 \(X'(t)=A(t)X(t)\) 在区间 \([a,b]\) 上的两个基解矩阵, 则存在一个非奇异常数 \(n\times n\) 矩阵 \(C\), 使在 \([a,b]\) 上有 \(\Psi(t)=\Phi(t)C\).

14. 设 \(m\) 不是 \(A\) 的特征根, 试证明非齐次线性方程组 \(X'=AX+ce^{mt}\) 有一解形如 \(\varphi(t)=pe^{mt}\), 其中 \(c,p\) 是常数列向量.