【习题】4.3 常系数齐次线性方程的待定指数函数法
[T040301] 求方程 \(x^2y''+2x^2\tan y\cdot y'^2+xy'-\sin y\cos y=0\) 的通解.
解 令 \(u=\tan y\), 即 \(y=\arctan u\), 于是
\[\begin{cases}
y'=\frac{1}{1+u^2}\frac{\mathrm du}{\mathrm dx},\\
y''=-\frac{2u}{(1+u^2)^2}\left(\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}\right)^2+\frac{1}{1+u^2}\frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dx^2}
\end{cases}
\]
于是原方程变为
\[\frac{x^2}{1+u^2}\frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dx^2}+\frac{x}{1+u^2}\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}-\frac{u}{1+u^2}=0
\]
即 \(x^2\frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dx^2}+x\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}-u=0\). 令 \(x=e^t\), 即 \(t=\ln x\), 令 \(D=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\), 则原方程可改写为
\[D(D-1)u+Du-u=0\Longrightarrow \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dt^2}-u=0.
\]
其特征方程为 \(\lambda^2-1=0\), 解得特征根为 \(\lambda_1=1, \ \lambda_2=-1\), 故通解为
\[u(t)=c_1e^t+c_2e^{-t}
\]
其中 \(c_1,c_2\) 为任意常数. 再将 \(t=\ln x\) 代入, 得
\[u=c_1x+\frac{c_2}{x}\Rightarrow \tan y=c_1x+\frac{c_2}{x}
\]
即通解为 \(y=\arctan(c_1x+\frac{c_2}{x})\), 其中 \(c_1,c_2\) 为任意常数. #
