【习题】4.3 常系数齐次线性方程的待定指数函数法

合集 - 常微分方程(14)

1.【习题】2.1 分离变量法2024-01-222.【习题】2.2 变量替换法2024-01-223.【习题】2.3 积分因子法2024-01-234.【习题】2.4 参数法2024-01-235.【习题】3.1 Picard存在唯一性定理2024-01-256.【习题】3.2 不动点定理和解的存在性2024-02-097.【习题】3.3 解的延拓2024-02-258.【习题】3.4 解对初值和参数的连续性和可微性2024-02-259.【习题】4.2 高阶微分方程的一般理论2024-02-27

10.【习题】4.3 常系数齐次线性方程的待定指数函数法2024-02-29

11.【习题】4.4 常系数非齐次线性方程的待定系数法2024-03-0112.【习题】5.1 一阶线性微分方程的基本概念2024-03-0213.【习题】5.2 一阶常系数线性微分方程组2024-03-0214.常微分方程选题2024-03-22

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[T040301] 求方程 $x^2y''+2x^2\tan y\cdot y'^2+xy'-\sin y\cos y=0$ 的通解.

    解 令 $u=\tan y$, 即 $y=\arctan u$, 于是

$$\begin{cases} y'=\frac{1}{1+u^2}\frac{\mathrm du}{\mathrm dx},\\ y''=-\frac{2u}{(1+u^2)^2}\left(\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}\right)^2+\frac{1}{1+u^2}\frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dx^2} \end{cases}$$

于是原方程变为

$$\frac{x^2}{1+u^2}\frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dx^2}+\frac{x}{1+u^2}\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}-\frac{u}{1+u^2}=0$$

即 $x^2\frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dx^2}+x\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}-u=0$. 令 $x=e^t$, 即 $t=\ln x$, 令 $D=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$, 则原方程可改写为

$$D(D-1)u+Du-u=0\Longrightarrow \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dt^2}-u=0.$$

其特征方程为 $\lambda^2-1=0$, 解得特征根为 $\lambda_1=1, \ \lambda_2=-1$, 故通解为

$$u(t)=c_1e^t+c_2e^{-t}$$

其中 $c_1,c_2$ 为任意常数. 再将 $t=\ln x$ 代入, 得

$$u=c_1x+\frac{c_2}{x}\Rightarrow \tan y=c_1x+\frac{c_2}{x}$$

即通解为 $y=\arctan(c_1x+\frac{c_2}{x})$, 其中 $c_1,c_2$ 为任意常数. #