【习题】4.2 高阶微分方程的一般理论

合集 - 常微分方程(14)

1.【习题】2.1 分离变量法2024-01-222.【习题】2.2 变量替换法2024-01-223.【习题】2.3 积分因子法2024-01-234.【习题】2.4 参数法2024-01-235.【习题】3.1 Picard存在唯一性定理2024-01-256.【习题】3.2 不动点定理和解的存在性2024-02-097.【习题】3.3 解的延拓2024-02-258.【习题】3.4 解对初值和参数的连续性和可微性2024-02-25

9.【习题】4.2 高阶微分方程的一般理论2024-02-27

10.【习题】4.3 常系数齐次线性方程的待定指数函数法2024-02-2911.【习题】4.4 常系数非齐次线性方程的待定系数法2024-03-0112.【习题】5.1 一阶线性微分方程的基本概念2024-03-0213.【习题】5.2 一阶常系数线性微分方程组2024-03-0214.常微分方程选题2024-03-22

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[T040201] 证明 $n$ 阶齐次线性微分方程一定存在 $n$ 个线性无关解.

    证 由存在唯一性定理可知 $n$ 阶齐次线性方程满足下列 $n$ 组初始条件

$$\left\{ \begin{array}{cccc} x_1(t_0)=1, & x'_1(t_0)=0, & \cdots, & x_1^{(n-1)}(t_0)=0,\\ x_2(t_0)=0, & x'_2(t_0)=1, & \cdots, & x_2^{(n-2)}(t_0)=0,\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ x_n(t_0)=0, & x_n'(t_0)=0, & \cdots, & x_n^{(n-1)}(t_0)=1 \end{array} \right.$$

的解 $x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)$ 一定存在且唯一, 注意到它们的 Wronski 行列式

$$W(x_1(t_0),x_2(t_0),\cdots,x_n(t_0))=1\neq0$$

故这 $n$ 个解必线性无关. #

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[T040202] 证明: $n$ 阶非齐次线性方程 $L[x]=f(t), \ t\in[a,b]$ 最多存在 $n+1$ 个线性无关解.

    证 注意到其对应的齐次线性方程 $L[x]=0$ 在区间 $[a,b]$ 上存在 $n$ 个线性无关解, 设为 $x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)$, 并设 $\bar{x}(t)$ 是 $n$ 阶非齐次线性方程 $L[x]=f(t)$ 在 $[a,b]$ 上的一个特解. 下证 $x_1(t)+\bar{x}(t),\cdots,x_n(t)+\bar{x}(t),\bar{x}(t)$ 是 $n$ 阶非齐次线性方程 $L[x]=f(t)$ 的解, 且它们在 $[a,b]$ 上线性无关.
    显然 $x_1(t)+\bar{x}(t),\cdots,x_n(t)+\bar{x}(t),\bar{x}(t)$ 是 $n$ 阶非齐次线性方程 $L[x]=f(t)$ 的解, 设存在一组数 $c_1,\cdots,c_{n+1}$, 使得当 $t\in[a,b]$ 时, 有

$$\begin{aligned} &c_1(x_1+\bar x)+c_2(x_2+\bar x)+\cdots+c_n(x_n+\bar x)+c_{n+1}\bar x=0\\ \Longrightarrow&(c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n)+(c_1+c_2+\cdots+c_{n+1})\bar x=0 \end{aligned}$$

此时必有 $c_1+c_2+\cdots+c_{n+1}=0$, 否则 $\bar x$ 可由 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 线性表出, 这与 $\bar x$ 是 $n$ 阶非齐次线性方程 $L[x]=f(t)$ 的解矛盾! 于是 $c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n=0$, 而 $x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)$ 在区间 $[a,b]$ 上线性无关, 故 $c_1=c_2=\cdots=c_n=0\Rightarrow c_{n+1}=0$, 所以 $x_1(t)+\bar{x}(t),\cdots,x_n(t)+\bar{x}(t),\bar{x}(t)$ 是 $n$ 阶非齐次线性方程 $L[x]=f(t)$ 在区间 $[a,b]$ 上的 $n+1$ 个线性无关解.
    再证 $n$ 阶非齐次线性方程 $L[x]=f(t)$ 最多存在 $n+1$ 个线性无关解. 设 $x_1(t),x_2(t),\cdots,x_{n+1}(t),x_{n+2}(t)$ 是其任意 $n+2$ 个线性无关解. 显然 $x_1(t)-x_{n+2}(t),\cdots,x_{n+1}(t)-x_{n+2}(t)$ 是对应的齐次线性方程 $L[x]=0$ 的 $n+1$ 个解, 则这 $n+1$ 个解必线性相关, 即存在不全为零的数 $c_1,\cdots,c_{n+1}$, 使得在 $[a,b]$ 上满足

$$\begin{aligned} &c_1(x_1(t)-x_{n+2}(t))+c_2(x_2(t)-x_{n+2}(t))+\cdots+c_{n+1}(x_{n+1}(t)-x_{n+2}(t))=0\\ \Longrightarrow&c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_{n+1}x_{n+1}-(c_1+c_2+\cdots+c_{n+1})x_{n+2}=0 \end{aligned}$$

故这 $n+2$ 个解在 $[a,b]$ 上线性相关, 产生矛盾! #

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[T040203] (Liouville 公式) 设 $x_1(t),x_2(t),\cdots,x_n(t)$ 是齐次线性方程 $L[x]=0$ 的任意 $n$ 个解, $W(t)$ 是它们的 Wronski 行列式, 则 $W(t)$ 满足一阶线性微分方程 $W'(t)=-a_1(t)W(t)$, 因而有

$$W(t)=W(t_0)e^{-\int_{t_0}^ta_1(s)\mathrm{~d}s},\quad t,t_0\in[a,b].$$

    证 由行列式求导法则可知

$$W'(t)=\begin{vmatrix} x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1'&x_2'&\cdots&x_n'\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1^{(n-2)}&x_2^{(n-2)}&\cdots&x_n^{(n-2)}\\ x_1^{(n)}&x_2^{(n)}&\cdots&x_n^{(n)} \end{vmatrix}$$

于是

$$W'(t)+a_1(t)W(t)=\begin{vmatrix} x_1&x_2&\cdots&x_n\\ x_1'&x_2'&\cdots&x_n'\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ x_1^{(n-2)}&x_2^{(n-2)}&\cdots&x_n^{(n-2)}\\ x_1^{(n)}+a_1(t)x_1^{(n-1)}&x_2^{(n)}+a_1(t)x_2^{(n-1)}&\cdots&x_n^{(n)}+a_1(t)x_n^{(n-1)} \end{vmatrix}$$

注意到

$$\begin{cases} x_1^{(n)}+a_1(t)x_1^{(n-1)}=-a_2(t)x_1^{(n-2)}-\cdots-a_n(t)x_1,\\ x_2^{(n)}+a_1(t)x_2^{(n-1)}=-a_2(t)x_2^{(n-2)}-\cdots-a_n(t)x_2,\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad~ ......\\ x_n^{(n)}+a_1(t)x_n^{(n-1)}=-a_2(t)x_n^{(n-2)}-\cdots-a_n(t)x_n,\\ \end{cases}$$

因此 $W'(t)+a_1(t)W(t)=0, \ t\in[a,b]$. 解得

$$W(t)=ce^{-\int_{t_0}^ta_1(s)\mathrm{~d}s}$$

注意到 $W(t_0)=c$, 于是 $W(t)=W(t_0)e^{-\int_{t_0}^ta_1(s)\mathrm{~d}s},\quad t,t_0\in[a,b]$. #

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[T040204] 设 $x=x_1(t), \ x=x_2(t)$ 是微分方程 $x''+x=0$ 的满足初始条件

$$x_1(0)=0,\quad x_1'(0)=1,\\ x_2(0)=1,\quad x_2'(0)=0$$

的解, 试不具体求出 $x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 而直接证明

  (1) $x_1'(t)=x_2(t),\quad x_2'(t)=-x_1(t)$;

  (2) $x_1^2(t)+x_2^2(t)\equiv1$.

    证 (1) 注意到 $x_1''(t)+x(t)=0, \ \ x_1(0)=0, \ x_1'(0)=1$, 于是 $x_1''(0)=0$. 令 $y(t)=x_1'(t)$, 则 $y'(t)=x_1''(t)=-x_1(t)$, 进而 $y''(t)=-x_1'(t)=-y(t)$, 即 $y''(t)+y(t)=0$, 且满足 $y(0)=x_1'(0)=1, \ y'(0)=x_1''(0)=0$, 由题设以及解的存在唯一性定理可知 $y(t)=x_2(t)$, 即 $x_1'(t)=x_2(t)$. 同理可证 $x_2'(t)=-x_1(t)$. #

    (2) 设 $W(t)$ 是$x_1(t)$ 和 $x_2(t)$ 的 Wronski 行列式, 由 Liouville 公式可知 $W(t)=W(0)e^{-\int_0^ta_1(s)\mathrm{~d}s}=W(0)$, 于是

$$\begin{vmatrix} x_1(t) & x_2(t)\\ x_1'(t) & x_2'(t) \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} x_1(0) & x_2(0)\\ x_1'(0) & x_2'(0) \end{vmatrix}=-1$$

又 $x_1'(t)=x_2(t),\quad x_2'(t)=-x_1(t)$, 故 $x_1^2(t)+x_2^2(t)\equiv1$. #