【习题】3.2 不动点定理和解的存在性

[T030201] 利用压缩映象原理证明: 当 \(|\lambda|\) 充分小时, 积分方程 \(\varphi(x)=\lambda\displaystyle\int_a^b F(x,t)\varphi(t)\mathrm dt\) 存在唯一解, 这里 \(F(x,t)\) 在 \(a\le x,t\le b\) 上连续.

    证 用 \(X\) 表示区间 \([a,b]\) 上所有连续函数组成的空间, 在 \(X\) 内定义映射

\[T:\quad(T\varphi)(x)=\lambda\int_a^bF(x,t)\varphi(t)\mathrm{~d}t, \quad \forall\varphi\in X. \]

在 \(X\) 上引入距离

\[\rho(\varphi_1,\varphi_2):=\max\limits_{x\in[a,b]}|\varphi_1(x)-\varphi_2(x)|,\quad \forall\varphi_1,\varphi_2\in X. \]

注意到 \(F(x,t)\) 在有界闭域 \([a,b]\times[a,b]\) 上连续, 故存在 \(M>0\), 对任意 \((x,t)\in[a,b]^2\), 都有 \(|F(x,t)|\le M\). 于是

\[\begin{aligned} \rho(T\varphi_1,T\varphi_2)&=\max\limits_{x\in[a,b]}\left|\lambda\int_a^bF(x,t)\left(\varphi_1(t)-\varphi_2(t)\right)\mathrm{~d}t\right|\\ &\le M|\lambda|\int_a^b|\varphi_1(t)-\varphi_2(t)|\mathrm{~d}t\\ &\le M|\lambda|(b-a)\cdot\max\limits_{t\in[a,b]}|\varphi_1(t)-\varphi_2(t)|\\ &=M|\lambda|(b-a)\cdot\rho(\varphi_1,\varphi_2) \end{aligned} \]

由压缩映象原理, 当 \(0\le M|\lambda|(b-a)<1\) 即 \(0\le |\lambda|<\frac{1}{M(b-a)}\) 时, \(T\) 在 \(X\) 中存在唯一的函数 \(\varphi_0(x)\), 使得 \(T\varphi_0=\varphi_0\), 即当 \(0\le |\lambda|<\frac{1}{M(b-a)}\) 时, 积分方程 \(\varphi(x)=\lambda\displaystyle\int_a^b F(x,t)\varphi(t)\mathrm dt\) 存在唯一解 \(\varphi_0(x)\). #

[T030202] 利用压缩映象原理讨论线性方程组 \(Ax=b\) 有唯一解的条件.

    解 记 \(\R^n\) 为 \(n\) 维列向量空间. 定义 \(||x||\) 为 \(\R^n\) 上的向量范数, \(||A||\) 为矩阵 \(A_{n\times n}\) 的算子范数, 满足

\[||A||=\max\limits_{0\neq x\in\R^n}\frac{||Ax||}{||x||}. \]

在 \(\R^n\) 上定义距离

\[\rho(x_1,x_2):=||x_1-x_2||, \quad \forall x_1,x_2\in\R^n. \]

在 \(\R^n\) 上定义映射

\[T:\quad Tx=b+(I_n-A)x. \]

则对任意的 \(x_1,x_2\in\R^n\), 有

\[\begin{aligned} \rho(Tx_1,Tx_2)&=\left|\left|\left(b+(I_n-A)x_1\right)-\left(b+(I_n-A)x_2\right)\right|\right|\\ &=||(I_n-A)(x_1-x_2)||\\ &\le||I_n-A||\cdot||x_1-x_2||\\ &=||I_n-A||\cdot\rho(x_1,x_2) \end{aligned} \]

注意到 \(Ax=b\) 有唯一解等价于 \(x=b+(I_n-A)x\) 有唯一解. 由压缩映像原理, 要使 \(x=b+(I_n-A)x\) 有唯一解, 只需 \(||I_n-A||<1\). #