【习题】2.2 变量替换法

[T020201] 若 \(y=y^*(x)\) 是一阶齐次线性方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y\) 的非零解, 而 \(y=\bar y\) 是一阶非齐次线性方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y+q(x)\) 的解. 证明: 一阶非齐次线性方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)y+q(x)\) 的通解为 \(y=cy^*(x)+\bar y(x)\), 其中 \(c\) 为任意常数.

证 设 \(y=\bar y+z\), 两边对 \(x\) 求导, 得

\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\mathrm d\bar{y}}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}\Longrightarrow py+q=p\bar y+q+\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}\Longrightarrow \frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}=p(x)z \]

由题意可知上述方程得通解为 \(z=cy^*\), 故原方程的通解为 \(y=cy^*(x)+\bar y(x)\), 其中 \(c\) 为任意常数. #

[T020202] 设 \(y(x)\) 是方程 \(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)\sin y\) 的满足 \(y(0)=0\) 的解, 其中 \(p(x)\) 是 \((-\infty,+\infty)\) 上的连续函数. 证明 \(y(x)\equiv0\).

证 注意到

\[\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p(x)\sin y=2p(x)\sin\frac{y}{2}\cos\frac{y}{2}\Longrightarrow \frac{\mathrm d\tan\frac{y}{2}}{\mathrm dx}=p(x)\tan\frac{y}{2} \]

解得

\[\tan\frac{y}{2}=ce^{\int p(x)\mathrm dx} \]

将 \(y(0)=0\) 代入可得 \(c=0\), 故 \(y(x)\equiv0\). #

[T020203] 求一曲线, 使得曲线上任一点 \(P\) 的切线方向 \(\overrightarrow{PQ}\) 与向径 \(\overrightarrow{OP}\) 的交角等于 \(45^{\circ}\).

解 由题设可知

\[1=\tan45^{\circ}=\frac{\frac{y}{x}-\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}}{1+\frac{y}{x}\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}}\Longrightarrow \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{\frac{y}{x}-1}{\frac yx+1} \]

令 \(\frac{y}{x}=u\), 则 \(y=xu\Rightarrow \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=u+x\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\frac{u-1}{u+1}\), 利用分离变量法解得 \(2\arctan u+\ln\left[(u^2+1)x^2\right]=c\), 即
\(2\arctan\frac{y}{x}+\ln(x^2+y^2)=c\), 其中 \(c\) 为任意常数. #