【习题】2.1 分离变量法

[T020101] 设 \(f(x)\) 满足 \(f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)}\), 且 \(f'(0)\) 存在, 求 \(f(x)\) 的表达式.

解 令 \(x=y=0\), 则 \(f(0)=\frac{2f(0)}{1-f(0)^2}\), 得 \(f(0)=0\). 注意到

\[f(x+\Delta x)=\frac{f(x)+f(\Delta x)}{1-f(x)f(\Delta x)} \Longrightarrow \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{f(\Delta x)}{\Delta x}\cdot\frac{1+f(x)^2}{1-f(x)f(\Delta x)} \]

因为 \(f'(0)\) 存在, 故由导数的 定义可知

\[f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{f(\Delta x)}{\Delta x}\cdot\frac{1+f(x)^2}{1-f(x)f(\Delta x)}=f'(0)[1+f(x)^2] \]

即 \(f(x)\) 满足微分方程 \(f'(x)=f'(0)[1+f(x)^2], f(0)=0\). 利用分离变量法求得其解为 \(y=\tan\left(f'(0)x\right)\). #