2024霍格沃茨魔法学院666高等代数试题

一、计算 \(n\) 阶行列式

\[\begin{vmatrix}(a_0+b_0)^n&(a_0+b_1)^n&\cdots&(a_0+b_n)^n\\(a_1+b_0)^n&(a_1+b_1)^n&\cdots&(a_1+b_n)^n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\(a_n+b_0)^n&(a_n+b_1)^n&\cdots&(a_n+b_n)^n\end{vmatrix}. \]

二、设 \(A,B\) 都是数域 \(\mathbb{K}\) 上的 \(n\) 阶矩阵且 \(AB=BA\), 证明: \(r(A+B)\le r(A)+r(B)-r(AB)\).

三、设 \(\alpha_1,\cdots,\alpha_{n+1}\) 为 \(n\) 维欧氏空间 \(V\) 是两两夹角大于直角的 \(n+1\) 个向量, 证明: \(\alpha_1,\cdots,\alpha_{n+1}\) 中任意 \(n\) 个向量必线性无关.

四、设 \(f(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2\cdots(x-a_n)^2+1\), 其中 \(a_1,a_2,\cdots,a_n\) 是 \(n\) 个不同的整数, 证明 \(f(x)\) 在有理域上不可约.

五、设 \(A=(a_{ij})\) 为三阶实对称矩阵，\(A^*\) 为 \(A\) 的伴随矩阵，设二次型

\[f(x_1,x_2,x_3,x_4)=\begin{vmatrix} x_1^2&x_2&x_3&x_4\\ x_2&a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ x_3&a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ x_4&a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} \]

若 $|\boldsymbol{A}|= - 12, $ tr$( \boldsymbol{A}) = 1, $ 且 \(( 1, 0, - 2) ^\prime\) 为线性方程组 \((A^*-4I_3)x=0\) 的解, 试给出正交变换 \(x=Py\) 将 \(f(x_1,x_2,x_3,x_4)\) 化为标准型.

六、设 \(\mathbb{Q}(\sqrt[n]2)=\left\{a_0+a_1\sqrt[n]2+\cdots+a_{n-1}\sqrt[n]{2^{n-1}} \ | \ a_i\in\mathbb Q, \ 0\le i\le n-1\right\}\), 证明 \(\mathbb{Q}(\sqrt[n]2)\) 是一个数域并求其作为 \(\mathbb Q\) 上的线性空间的一组基.

七、设 \(A\) 为 \(n\) 阶实对称阵, \(S\) 为 \(n\) 阶非异实反对称阵, 且 \(AS=SA\), 证明 \(|A+S|\ge |S|\), 且等号成立当且仅当 \(A=O\).

八、设 \(V\) 是 \(n\) 阶矩阵全体构成的线性空间, \(V\) 上的线性变换 \(\varphi\) 定义为 \(\varphi(X)=AXA\), 其中 \(A\in V\). 证明: \(\varphi\) 可对角化当且仅当 \(A\) 可对角化.

九、设 \(A\) 为 \(n\) 阶复矩阵, 证明: 存在 \(n\) 阶复对称矩阵 \(B,C\), 使得 \(A=BC\), 并且可以指定 \(B,C\) 中任意一个为可逆阵.

十、设 \(n\) 阶实矩阵 \(A\) 满足 \(AA'=A'A\), 证明: 存在实系数多项式 \(g(x)\), 使得 \(A'=g(A)\).