2024霍格沃兹魔法学院666数学分析试题

一、判断题/简答题（错误则给出反例）

1. 设 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=A, \ \lim\limits_{u\to A}g(u)=B$, 则 $\lim\limits_{x\to a}g(f(x))=B$.
2. 若正项级数 $\sum a_n$ 收敛, 则 $\lim\limits_{n\to\infty} na_n=0$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty}n(a_n-a_{n+1})=0$?
3. 交错级数 $\sum(-1)^n\frac{1}{n}$ 通过适当重排可以收敛到 $2024$.
4. 设二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 沿任意方向的方向导数存在, 判定 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 点的连续性、偏导数的存在性、可微性.

二、计算与解答题

1. 计算极限
   1. $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\left[(n^k+1)^{-1/k}+(n^k-1)^{-1/k}\right]$.
   2. $\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)$.
2. 计算广义积分：$\int_0^{+\infty}\frac{\cos x-\cos(2x)}{x}\mathrm{~d}x$.
3. 计算函数项级数的和函数：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(x^{n-1}\cdot\cos n\right)$.
4. 计算曲线积分：$I= \oint _L( y^2+ z^2) \mathrm{d}x+ ( z^2+ x^2) \mathrm{d}y+ ( x^2+ y^2) \mathrm{d}z$, 其中 L 是曲面 $x^2+y^2+z^2=4x$ 与 $x^2+y^2=2x$ 的交线 $z\geqslant0$ 的部分, 曲线的方向为从$z$ 轴上方向下看是顺时针方向.
5. 讨论数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)\frac{\sin n\alpha}{n}$ 的收敛性 ($\alpha$ 是常数).
6. 设 $\varphi$ 为二元连续可微函数. 对于函数组 $u=x+at,v=x-at$, 试把弦损动方程

$$a^2\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}=\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} \ (a>0)$$

变换成以 $u,v$ 为自变量的形式.

7. 求与平面 $x+y+z=0$ 与椭球面 $x^2+4y^2+z^2=0$ 相交所得的椭圆面积.

三、证明题

1. 设 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a,\ \lim\limits_{n\to\infty}y_n=b$, 证明：$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_1y_n+x_2y_{n-1}+\cdots+x_ny_1}{n}=ab$.
2. 对任意的 $n\in\mathbb{N},\ a_n>0$, 且级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}$ 收敛, 证明级数 $\sum_{n=1}\limits^{\infty}\frac{n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}$ 也收敛, 且存在正常数 $K>0$, 使得 $\sum_{n=1}\limits^{\infty}\frac{n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\le K\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}$.
3. 设 $f_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}, \ n\in\mathbb{N}^+$, 求证：方程 $f_n(x)f_{n+1}(x)=0$ 在 $\mathbb{R}$ 上仅有一个实根.
4. 设 $f$ 在 $(a,+\infty)$ 上 $n$ 阶可导. 若 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\to+\infty}f^{(n)}(x)$ 都存在. 证明: $\lim\limits_{x\to+\infty}f^{(k)}(x)=0 \ (k=1,2,\cdots,n)$.
5. 设 $f(x)$ 的一阶导函数在 [0,1] 上连续，且 $f(0)=f(1)=0$. 证明 $\left|\int_0^1f(x)\mathrm{~d}x\right|\le\frac{1}{4}\max\limits_{[0,1]}|f'(x)|$.
6. 设 $f_{xy}(x,y),f_{yx}(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续, 证明：$f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$. 并说明反之是否成立？
7. 证明: 若 $\int_0^{+\infty}f(x,t)\mathrm{d}t$ 在 $x\in(0,+\infty)$上一致收敛于 $F(x)$, 且 $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x,t)=\varphi(t)$ 对任意 $t\in[a,b]\subset(0,+\infty)$ 一致地成立，则有 $\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=\int_0^{+\infty}\varphi(t)\mathrm{d}t$.
8. 叙述并证明 Cantor 定理.