2024霍格沃兹魔法学院666数学分析试题

一、判断题/简答题（错误则给出反例）

1. 设 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=A, \ \lim\limits_{u\to A}g(u)=B\), 则 \(\lim\limits_{x\to a}g(f(x))=B\).
2. 若正项级数 \(\sum a_n\) 收敛, 则 \(\lim\limits_{n\to\infty} na_n=0\) 且 \(\lim\limits_{n\to\infty}n(a_n-a_{n+1})=0\)?
3. 交错级数 \(\sum(-1)^n\frac{1}{n}\) 通过适当重排可以收敛到 \(2024\).
4. 设二元函数 \(f(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 沿任意方向的方向导数存在, 判定 \(f(x,y)\) 在 \((x_0,y_0)\) 点的连续性、偏导数的存在性、可微性.

二、计算与解答题

1. 计算极限
   1. \(\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\left[(n^k+1)^{-1/k}+(n^k-1)^{-1/k}\right]\).
   2. \(\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)\).
2. 计算广义积分：\(\int_0^{+\infty}\frac{\cos x-\cos(2x)}{x}\mathrm{~d}x\).
3. 计算函数项级数的和函数：\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(x^{n-1}\cdot\cos n\right)\).
4. 计算曲线积分：\(I= \oint _L( y^2+ z^2) \mathrm{d}x+ ( z^2+ x^2) \mathrm{d}y+ ( x^2+ y^2) \mathrm{d}z\), 其中 L 是曲面 \(x^2+y^2+z^2=4x\) 与 \(x^2+y^2=2x\) 的交线 \(z\geqslant0\) 的部分, 曲线的方向为从\(z\) 轴上方向下看是顺时针方向.
5. 讨论数项级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)\frac{\sin n\alpha}{n}\) 的收敛性 (\(\alpha\) 是常数).
6. 设 \(\varphi\) 为二元连续可微函数. 对于函数组 \(u=x+at,v=x-at\), 试把弦损动方程

\[a^2\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}=\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} \ (a>0) \]

变换成以 \(u,v\) 为自变量的形式.

7. 求与平面 \(x+y+z=0\) 与椭球面 \(x^2+4y^2+z^2=0\) 相交所得的椭圆面积.

三、证明题

1. 设 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a,\ \lim\limits_{n\to\infty}y_n=b\), 证明：\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_1y_n+x_2y_{n-1}+\cdots+x_ny_1}{n}=ab\).
2. 对任意的 \(n\in\mathbb{N},\ a_n>0\), 且级数 \(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}\) 收敛, 证明级数 \(\sum_{n=1}\limits^{\infty}\frac{n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\) 也收敛, 且存在正常数 \(K>0\), 使得 \(\sum_{n=1}\limits^{\infty}\frac{n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\le K\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}\).
3. 设 \(f_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}, \ n\in\mathbb{N}^+\), 求证：方程 \(f_n(x)f_{n+1}(x)=0\) 在 \(\mathbb{R}\) 上仅有一个实根.
4. 设 \(f\) 在 \((a,+\infty)\) 上 \(n\) 阶可导. 若 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) 和 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f^{(n)}(x)\) 都存在. 证明: \(\lim\limits_{x\to+\infty}f^{(k)}(x)=0 \ (k=1,2,\cdots,n)\).
5. 设 \(f(x)\) 的一阶导函数在 [0,1] 上连续，且 \(f(0)=f(1)=0\). 证明 \(\left|\int_0^1f(x)\mathrm{~d}x\right|\le\frac{1}{4}\max\limits_{[0,1]}|f'(x)|\).
6. 设 \(f_{xy}(x,y),f_{yx}(x,y)\) 在点 \((x_0,y_0)\) 处连续, 证明：\(f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)\). 并说明反之是否成立？
7. 证明: 若 \(\int_0^{+\infty}f(x,t)\mathrm{d}t\) 在 \(x\in(0,+\infty)\)上一致收敛于 \(F(x)\), 且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x,t)=\varphi(t)\) 对任意 \(t\in[a,b]\subset(0,+\infty)\) 一致地成立，则有 \(\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=\int_0^{+\infty}\varphi(t)\mathrm{d}t\).
8. 叙述并证明 Cantor 定理.