行列式问题总结
行列式
计算题
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*[白皮例1.1] 计算
\[|A|=\left| \begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & C_2^1 & \cdots & C_n^1\\ 1 & C_3^2 & \cdots & C_{n+1}^2\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & C_n^{n-1} & \cdots & C_{2n-2}^{n-1} \end{array} \right| \] -
[白皮例1.8] 设 \(x_1,x_2,x_3\) 为方程 \(x^3+px+q=0\) 的 \(3\) 个根, 求行列式 \(|A|=\left| \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3\\ x_2 & x_3 & x_1\\ x_3 & x_1 & x_2\\ \end{array} \right|\).
注：利用 Vieta 定理. -
[白皮例1.14] 设 \(bc\neq0\), 计算 \(n\) 阶行列式:
\[D_n=\left| \begin{array}{cccccc} a & b & & & & \\ c & a & b & & & \\ & c & a & b & & \\ & &\ddots&\ddots&\ddots\\ & & & c & a & b \\ & & & & c & a \end{array} \right| \] -
**[白皮例1.18] 计算 Cauchy 行列式:
\[|A|=\left| \begin{array}{cccc} (a_1+b_1)^{-1} & (a_1+b_2)^{-1} & \cdots & (a_1+b_n)^{-1}\\ (a_2+b_1)^{-1} & (a_2+b_2)^{-1} & \cdots & (a_2+b_n)^{-1}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ (a_n+b_1)^{-1} & (a_n+b_2)^{-1} & \cdots & (a_b+b_n)^{-1}\\ \end{array} \right| \] -
[白皮1.25] 求下列行列式:
\[D_n=\begin{vmatrix}1+a_1^2&a_1a_2&\cdots&a_1a_n\\a_2a_1&1+a_2^2&\cdots&a_2a_n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_na_1&a_na_2&\cdots&1+a_n^2\end{vmatrix}. \]注：用拆分法或行列式的降阶公式.
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[白皮例1.28] 求下列行列式:
\[|\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}1&\cos\theta_1&\cos2\theta_1&\cdots&\cos(n-1)\theta_1\\1&\cos\theta_2&\cos2\theta_2&\cdots&\cos(n-1)\theta_2\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&\cos\theta_n&\cos2\theta_n&\cdots&\cos(n-1)\theta_n\end{vmatrix}. \] -
[白皮例1.32] 求下列 \(n\) 阶行列式 \((1\le i\le n-1)\):
\[|\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}1&x_1&\cdots&x_1^{i-1}&x_1^{i+1}&\cdots&x_1^n\\1&x_2&\cdots&x_2^{i-1}&x_2^{i+1}&\cdots&x_2^n\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\1&x_n&\cdots&x_n^{i-1}&x_n^{i+1}&\cdots&x_n^n\end{vmatrix}. \]注：升阶法
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[白皮例1.33] 求下列 \(n\) 阶行列式的值, 其中 \(a_i\neq0\):
\[|A|=\begin{vmatrix}0&a_1+a_2&\cdots&a_1+a_{n-1}&a_1+a_n\\a_2+a_1&0&\cdots&a_2+a_{n-1}&a_2+a_n\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n-1}+a_1&a_{n-1}+a_2&\cdots&0&a_{n-1}+a_n\\a_n+a_1&a_n+a_2&\cdots&a_n+a_{n-1}&0\end{vmatrix}. \] -
*[白皮例1.34] 用求根法计算 Vandermonde 行列式:
\[D_n=\begin{vmatrix}1&x_1&\cdots&x_1^{n-2}&x_1^{n-1}\\1&x_2&\cdots&x_2^{n-2}&x_2^{n-1}\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\1&x_{n-1}&\cdots&x_{n-1}^{n-2}&x_{n-1}^{n-1}\\1&x_n&\cdots&x_n^{n-2}&x_n^{n-1}\end{vmatrix}. \]注：类似方法可求行列式 \(|\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}1&1&2&3\\1&2-x^2&2&3\\2&3&1&5\\2&3&1&9-x^2\end{vmatrix},|\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}x&y&z&w\\y&x&w&z\\z&w&x&y\\w&z&y&x\end{vmatrix}.\)
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[白皮例1.37] 计算行列式 \(|\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}1+x&1&1&1\\1&1-x&1&1\\1&1&1+y&1\\1&1&1&1-y\end{vmatrix}.\)
注：求根法. -
[白皮例1.38] 计算行列式 \(|\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix}(a+b)^2&c^2&c^2\\a^2&(b+c)^2&a^2\\b^2&b^2&(c+a)^2\end{vmatrix}.\)
注：求根法. -
*[白皮例2.53] 计算下列 \(n+1\) 阶矩阵的行列式:
\[\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}(a_0+b_0)^n&(a_0+b_1)^n&\cdots&(a_0+b_n)^n\\(a_1+b_0)^n&(a_1+b_1)^n&\cdots&(a_1+b_n)^n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\(a_n+b_0)^n&(a_n+b_1)^n&\cdots&(a_n+b_n)^n\end{pmatrix}. \]注：二项式展开，分解成两个简单 Vandermonde 矩阵的乘积.
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[白皮例2.55] 计算下列矩阵的行列式:
\[\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}x&-y&-z&-w\\y&x&-w&z\\z&w&x&-y\\w&-z&y&x\end{pmatrix}. \]注：注意到 \(AA'\) 是纯量阵; 或利用例2.71公式.
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**s[白皮例2.56] 计算下列循环矩阵的行列式:
\[\left.\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccccc}a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n\\a_n&a_1&a_2&\cdots&a_{n-1}\\a_{n-1}&a_n&a_1&\cdots&a_{n-2}\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_2&a_3&a_4&\cdots&a_1\end{array}\right.\right). \]注：令 \(f(x)=a_1+a_2x+a_3x^2+\cdots+a_nx^{n-1}\), \(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\) 是 \(1\) 的 \(n\) 次方根, 则 \(|A|=f(\varepsilon_1)f(\varepsilon_2)\cdots f(\varepsilon_n).\)
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***[白皮例2.57] 计算下列矩阵的行列式:
\[\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\cos2\theta&\cos3\theta&\cdots&\cos n\theta\\\cos n\theta&\cos\theta&\cos2\theta&\cdots&\cos(n-1)\theta\\\cos(n-1)\theta&\cos n\theta&\cos\theta&\cdots&\cos(n-2)\theta\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\\cos2\theta&\cos3\theta&\cos4\theta&\cdots&\cos\theta\end{pmatrix}. \]注：例2.56的应用
证明题
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\(\star\)[白皮例1.7] 设 \(|A|=|a_{ij}|\) 是一个 \(n\) 阶行列式, \(A_{ij}\) 是它第 \((i,j)\) 元素的代数余子式, 证明:
\[\left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & x_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & x_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & x_n\\ y_1 & y_2 & \cdots & y_n & z \end{array} \right|=z|A|-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nA_{ij}x_iy_j \]注：将行列式关于最后一列，最后一行展开；利用摄动法.
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**[白皮例1.20] 设 \(n(n>2)\) 阶行列式 \(|A|\) 的所有元素或为 \(1\) 或为 \(-1\), 求证: \(|A|\) 的绝对值小于等于 \(\frac{2}{3}n!\).
注：对 \(n\) 进行归纳. -
*[白皮例1.21] 设 \(f_{i j}(t)\) 是可微函数,
\[F(t)=\left|\begin{array}{cccc} f_{11}(t) & f_{12}(t) & \cdots & f_{1 n}(t) \\ f_{21}(t) & f_{22}(t) & \cdots & f_{2 n}(t) \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ f_{n 1}(t) & f_{n 2}(t) & \cdots & f_{n n}(t) \end{array}\right| \]求证: $ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} F(t)=\sum_{j=1}^{n} F_{j}(t)$ , 其中
\[F_{j}(t)=\left|\begin{array}{cccccc} f_{11}(t) & f_{12}(t) & \cdots & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f_{1 j}(t) & \cdots & f_{1 n}(t) \\ f_{21}(t) & f_{22}(t) & \cdots & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f_{2 j}(t) & \cdots & f_{2 n}(t) \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ f_{n 1}(t) & f_{n 2}(t) & \cdots & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} f_{n j}(t) & \cdots & f_{n n}(t) \end{array}\right|. \]注：利用归纳法或行列式的组合定义或多元函数求导法则.
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\(\star\)[白皮例1.22] 设 \(t\) 是一个参数,
\[|\boldsymbol{A}(t)|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11}+t & a_{12}+t & \cdots & a_{1 n}+t \\ a_{21}+t & a_{22}+t & \cdots & a_{2 n}+t \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1}+t & a_{n 2}+t & \cdots & a_{n n}+t \end{array}\right|, \]求证: \(|\boldsymbol{A}(t)|=|\boldsymbol{A}(0)|+t \sum_{i, j=1}^{n} A_{i j},\) 其中 \(A_{i j}\) 是 \(a_{i j}\) 在 $|\boldsymbol{A}(0)| $ 中的代数余子式.
注：利用此方法容易求解行列式 \(\left|\begin{array}{cccc} a & b & \cdots & b \\ c & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c & c & \cdots & a \end{array}\right|\). -
*[白皮例1.24] 设 \(f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)\) 是次数不超过 \(n-2\) 的多项式, 求证: 对任意 \(n\) 个数\(a_1,a_2,\cdots,a_n\), 均有
\[\left| \begin{array}{cccc} f_1(a_1)&f_2(a_1)&\cdots&f_n(a_1)\\f_1(a_2)&f_2(a_2)&\cdots&f_n(a_2)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\f_1(a_n)&f_2(a_n)&\cdots&f_n(a_n)\end{array} \right|=0 \]注：拆分法+抽屉原理.
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*[白皮例1.39] 若 \(n\) 阶行列式 \(|A|\) 中零元素的个数超过 \(n^2-n\) 个, 证明: \(|A|=0.\)
注：利用行列式的组合定义或者抽屉原理. -
[白皮例1.42] 设 \(A=(a_{ij})\) 是 \(n(n\ge2)\) 阶非异整数方阵, 满足对任意的 \(i,j\), \(|A|\) 均可以整除 \(a_{ij}\), 证明: \(|A|=\pm1\).
注：利用行列式的组合定义. -
[白皮例1.44] 用 Laplace 定理证明恒等式: \((ab'-a'b)(cd'-c'd)-(ac'-a'c)(bd'-b'd)+(ad'-a'd)(bc'-b'c)=0.\)
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\(\star\)**[白皮例1.46] 设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶矩阵, 求证
\[|A+B|=|A|+|B|+\sum_{1\le k\le n-1}\left(\sum_{\begin{array}{c}1\le i_1<i_2<\cdots<i_k<n\\1\le j_1<j_2<\cdots<j_k\le n \end{array}}A\left(\begin{array}{cccc}i_1 & i_2 &\cdots& i_k\\ j_1& j_2 & \cdots&j_k\end{array}\right)\hat{B}\left(\begin{array}{cccc}i_1 & i_2 &\cdots& i_k\\ j_1& j_2 & \cdots&j_k\end{array}\right)\right). \]注：Laplace 定理.
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**[白皮例1.49] 设 \(n\) 阶行列式 \(|A|=|a_{ij}|, A_{ij}\) 是元素 \(a_{ij}\) 的代数余子式, 求证:
\[|\boldsymbol{B}|=\begin{vmatrix}a_{11}-a_{12}&a_{12}-a_{13}&\cdots&a_{1,n-1}-a_{1n}&1\\a_{21}-a_{22}&a_{22}-a_{23}&\cdots&a_{2,n-1}-a_{2n}&1\\a_{31}-a_{32}&a_{32}-a_{33}&\cdots&a_{3,n-1}-a_{3n}&1\\\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\a_{n1}-a_{n2}&a_{n2}-a_{n3}&\cdots&a_{n,n-1}-a_{nn}&1\end{vmatrix}=\sum_{i,j=1}^nA_{ij}. \]注：利用例1.22或例1.7
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**[白皮例1.50] 设 \(f\) 为从 \(n\) 阶方阵构成的集合到数集上的映射, 使得对任意的 \(n\) 阶方阵 \(\boldsymbol{A}\), 任意的指标 \(1\leq i\leq n\), 以及任意的常数 \(c\), 满足下列条件:
(1) 设 \(\boldsymbol{A}\) 的第 \(i\) 列是方阵 \(\boldsymbol{B}\) 和 \(\boldsymbol{C}\) 的第 \(i\) 列之和, 且 \(\boldsymbol{A}\) 的其余列与 \(\boldsymbol{B}\) 和 \(\boldsymbol{C}\) 的对应列完全相同, 则 \(f(\boldsymbol{A})=f(\boldsymbol{B})+f(\boldsymbol{C})\);
(2) 将 \(\boldsymbol{A}\) 的第 \(i\) 列乘以常数 \(c\) 得到方阵 \(\boldsymbol{B}\), 则 \(f(B)=cf(\boldsymbol{A})\);
(3) 对换 \(\boldsymbol{A}\) 的任意两列得到方阵 \(\boldsymbol{B}\), 则 \(f(\boldsymbol{B})=-f(\boldsymbol{A})\);
(4) \(f(\boldsymbol{I}_n)=1\), 其中 \(I_n\) 是 \(n\)阶单位阵.
求证: \(f(A)=|A|\).
注：化成行列式的组合定义式. -
[白皮例2.58] 设 \(n\ge 3\), 证明下列矩阵是奇异阵:
\[\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\cos(\alpha_1-\beta_1)&\cos(\alpha_1-\beta_2)&\cdots&\cos(\alpha_1-\beta_n)\\\cos(\alpha_2-\beta_1)&\cos(\alpha_2-\beta_2)&\cdots&\cos(\alpha_2-\beta_n)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\\cos(\alpha_n-\beta_1)&\cos(\alpha_n-\beta_2)&\cdots&\cos(\alpha_n-\beta_n)\end{pmatrix}. \]注：将余弦展开，拆分成两个矩阵的乘积，利用 Cauchy-Binet 公式即得 \(|A|=0.\)
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[白皮例2.59] 设 \(\boldsymbol{A}\) 是 \(m\times n\) 矩阵, 求证: 矩阵 \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{A'}\) 的任一主子式都非负.
注：利用 Cauchy-Binet 公式（注意对主子式的阶数进行讨论）. -
[白皮例2.61] 设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 分别是 \(m\times n,n\times m\) 矩阵, 求证: \(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) 和 \(\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\) 的 \(r\) 阶主子式之和相等, 其中 \(1\le r\le \min\{m,n\}.\)
注：利用 Cauchy-Binet 公式 -
*[白皮例2.64] 设 \(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\) 都是 \(m\times n\) 实矩阵, 求证: \(|\boldsymbol{A}\boldsymbol{A'}||\boldsymbol{B}\boldsymbol{B'}|\ge|\boldsymbol{A}\boldsymbol{B'}|^2.\)
注：利用 Cauchy-Binet 公式和 Cauchy-Schwarz 不等式. -
\(\star\)[白皮例2.66] (行列式的降阶公式) 设 \(A\) 为 \(m\) 阶方阵, \(D\) 为 \(n\) 阶方阵, \(B\) 为 \(m\times n\) 矩阵, \(C\) 为 \(n\times m\) 矩阵, 则
(1) 若 \(A\) 可逆, 则 \(\begin{vmatrix} A & B\\ C & D \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}D-CA^{-1}B\end{vmatrix}\);
(1) 若 \(D\) 可逆, 则 \(\begin{vmatrix} A & B\\ C & D \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}D\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}A-BD^{-1}C\end{vmatrix}\);
(1) 若 \(A,D\) 都可逆, 则 \(\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}D-CA^{-1}B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}D\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}A-BD^{-1}C\end{vmatrix}\);
注：利用分块初等变化即证. 用 \(-B\) 代替 \(B\) 将得到 \(\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}D+CA^{-1}B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}D\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}A+BD^{-1}C\end{vmatrix}\).
利用此原理容易计算下列矩阵的行列式\[\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_1^2&a_1a_2+1&\cdots&a_1a_n+1\\a_2a_1+1&a_2^2&\cdots&a_2a_n+1\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_na_1+1&a_na_2+1&\cdots&a_n^2\end{pmatrix},\\ \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0&a_1+a_2&\cdots&a_1+a_n\\a_2+a_1&0&\cdots&a_2+a_n\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_n+a_1&a_n+a_2&\cdots&0\end{pmatrix}. \] -
\(\star\)[白皮书例2.69] 设 \(A,B\) 是 \(n\) 阶方阵, 证明: \(\begin{vmatrix} A & B\\ B & A \end{vmatrix}=|A+B||A-B|\).
注：利用此公式容易计算\[\begin{vmatrix}A&B&C&D\\B&A&D&C\\C&D&A&B\\D&C&B&A\end{vmatrix}=|A+B+C+D||A+B-C-D||A-B+C-D||A-B-C+D|. \] -
\(\star\)[白皮例2.71] 设 \(A,B\) 是 \(n\) 阶复矩阵, 求证: \(\begin{vmatrix} A & -B\\ B & A \end{vmatrix}=|A+iB||A-iB|\); 若 \(AB=BA\), 则 \(\begin{vmatrix} A & -B\\ B & A \end{vmatrix}=|A^2+B^2|\); 若 \(A,B\) 是实矩阵, 则 \(\begin{vmatrix} A & -B\\ B & A \end{vmatrix}\ge0\).
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\(\star\)[白皮例2.76] 设 \(A,B,C,D\) 是 \(n\) 阶矩阵且 \(AC=CA\), 求证: \(\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}=|AD-CB|.\)
注：利用摄动法.
