函数的连续性问题总结

函数的连续性

判断题

1. [华四4.1.4] 若 \(|f|\) 或 \(f^2\) 在 \(I\) 上连续, 则 \(f\) 也在 \(I\) 上不一定连续.
   注：类似的, \(f\) 在 \(I\) 上可导不能推出 \(|f|\) 在 \(I\) 上可导.
2. *[华四4.1.9] 构造仅在有限个点连续的函数; 构造仅在 \(\frac{1}{n} \ (n=1,2,\cdots)\) 上间断的函数; 构造仅在 \(x=0\) 右连续而在其他点都不连续的函数; 构造无限多个点连续和无限多个点不连续的函数
   注：利用 Dirichlet 在任意点处都不连续; Riemann 函数在有理点处不连续, 在无理点处连续.
3. *[李例2-1-2-3] 设 \(\{f_n(x)\}\) 是 \([a,b]\) 上的连续函数序列, 对 \(\forall n\in\mathbb{N},\forall x\in[a,b]\) 有 \(|f_n(x)|\le M\), 问 \(F(x)=\inf\limits_n\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上是否连续.
   注：\(f_n(x)=x^n,x\in[0,1]\).
4. *[李例2-1-2-8] 设 \(f(x)\in C[a,b]\), 是否存在定义在 \((0,+\infty)\) 上的函数 \(\varphi(x)\), 满足:
   (1) \(\varphi(x)\) 单调递增, 且当 \(t\ge b-a\) 时, \(\varphi(t)\equiv\) 常数;
   (2) \(\forall x',x''\in[a,b]\), 有 \(|f(x')-f(x'')|\le\varphi(|x'-x''|)\);
   (3) \(\lim\limits_{t\to0+}\varphi(t)=0.\)
   注：令 \(\varphi(t)=\begin{cases}\sup\limits_{[a,b]} f(x)-\inf\limits_{[a,b]} f(x), & t\ge b-a,\\ \sup\limits_{|t_1-t_2|\le t}\{|f(t_2)-f(t_1)|\}, & 0<t<b-a \end{cases}\).
5. *[李例2-1-2思考] 是否存在一个函数, 它在无理点处不连续, 而在有理点处连续.
6. [李例2-1-6注] 导函数有界一定一致连续, 但导函数无界不一定不一致连续.
   注：\(f(x)=\sqrt{x}\ln x, x\in(0,1]\).
7. [李例2-2-1-8] 对平面上椭圆内的任一点 \(P\), 存在过点 \(P\) 的弦使得 \(P\) 为弦中点.
   注：令 \(f(\theta)=L_1(\theta)+L_2(\theta)\), 其中 \(L_1,L_2\) 为两段弦的长度, 从而 \(f(0)f(\pi)\le0\), 再用介值定理即得结论.
8. [李例2-2-3-2] 若 \(f(x)\) 在 \(I\) 上处处连续且为一一映射, 则 \(f(x)\) 必为严格单调函数.
   注：反证法
9. [李例2-2-3-3] 是否存在 \(\mathbb{R}\) 上的连续函数 \(f(x)\) 使得 \(f(f(x))=e^{-x}\).
   注：单调函数的自复合是单调递增函数.
10. [李例2-2-5-1] 非常数的连续周期函数必有最小正周期.
    注：否则将是常值函数. 用反证法证明, 此时 \(\sup\{f的正周期\}=0\), 接着构造数列 \(\{x_n\}, \ s.t. \ x_n\to0(n\to\infty)\), 再根据函数连续的性质可得 \(f(x)\equiv f(0).\)

证明题

1. *[华四4.1例3] 证明 Riemann 函数在 \((0,1)\) 上的任何无理点处连续, 而在任何有理点处不连续, 并讨论间断点的类型.
   注：在任何有理点处不连续可用连续的定义；无理点处连续用到的思想就是处理 Riemann 函数问题的经典方法，即给定一个界限，则 Riemann 在这个界限以上的点只有有限多个.
2. [华四4.1.6] 证明: 区间 \(I\) 上的单调函数 \(f\) 的间断点必是跳跃间断点.
   注：利用单调有界原理可证明最多只有第一类间断点, 再用反证法可证必是跳跃间断点.
3. 证明: 导函数至多只有第二类间断点.
4. [华四4.2.18] 设 \(f\) 为 \([a,b]\) 上的增函数, 其值域为 \([f(a),f(b)]\). 证明: \(f\) 在 \([a,b]\) 上连续.
   注：反证法，如果 \(f\) 有间断点，则一定是跳跃间断点，这将与值域构成矛盾！
5. [华四4.1.7] 设函数 \(f\) 只有可去间断点, 定义 \(g(x)=\lim\limits_{y\to x}f(y)\). 证明 \(g(x)\) 为连续函数.
6. *[华四4.2定理4.6] 证明闭区间上的连续函数能取到最大值和最小值.
   注：利用反证法、确界原理，根据确界的定义引出矛盾.
7. *[华四4.2例10] 函数 \(f(x)\) 定义在区间 \(I\) 上, 试证 \(f(x)\) 在 \(I\) 上一致连续的充分必要条件为: 对任何数列 \(\{x_n'\},\{x_n''\}\subset I\), 若 \(\lim\limits_{n\to\infty}(x_n'-x_n'')=0\), 则 \(\lim\limits_{n\to\infty}\left[f(x_n')-f(x_n'')\right]=0.\)
   注：必要性的证明是显然的；充分性的证明要用反证法，构造数列引出矛盾. 利用这个一致连续判断的等价命题，可以轻松解决一些非一致连续的证明问题，例如 \(f(x)=\sin\frac{1}{x}\) 在 \((0,1)\) 上不一致连续; \(f(x)=x^2\) 在 \(\mathbb{R}\) 上不一致连续; \(f(x)=\sin x^2\) 在 \(\mathbb{R}\) 上不一致连续.
8. [华四4.2例12] 设区间 \(I_1\) 的右端点为 \(c\in I_1\), 区间 \(I_2\) 的左端点也为 \(c\in I_2\) (\(I_1,I_2\) 可分别为有限或无限区间). 证明: 若 \(f\) 分别在 \(I_1\) 和 \(I_2\) 上一致连续, 则 \(f\) 在 \(I=I_1\cup I_2\) 上也一致连续.
   注：区间 \(I_1\) 的右端点为 \(c\in I_1\), 区间 \(I_2\) 的左端点也为 \(c\in I_2\) 条件不可少, 否则 \(f\) 在 \(I\) 上不一定一致连续, 例如 \(f(x)=\begin{cases}x, & x\in(0,1), \\ 2, & x\in[1,2)\end{cases}.\)
9. [华四4.2.4] 设 \(f\in C(\mathbb{R}),\ c>0\). 记 \(F(x)=\begin{cases} -c, & f(x)<-c\\ f(x), & |f(x)|\le c\\ c, & f(x)>c \end{cases},\) 证明 \(F\) 在 \(\mathbb{R}\) 上连续.
   注：\(F(x)=\frac{1}{2}\left(|f(x)+c|-|f(x)-c|\right)\).
10. **[华四2.3定理4.10] 设 \(a>0,\alpha,\beta\) 为任意两个实数, 则有 \(a^{\alpha}\cdot a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}; \ (a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta}.\)
11. *[华四第二章总练习题3(2)] 设 \(f\) 在区间 \(I\) 上连续, 若对任意两个有理数 \(r_1,r_2,r_1<r_2\), 有 \(f(r_1)<f(r_2)\), 证明: \(f\) 在 \(I\) 上严格增.
12. [华四第二章总练习题8] 设 \(f\in C[0,1],f(0)=f(1).\) 证明: 对任何正整数 \(n\), 存在 \(\xi\in[0,1]\), 使得 \(f(\xi+\frac{1}{n})=f(\xi)\).
13. **[华四第二章总练习题9] 设 \(f\) 在 \(x=0\) 连续, 且对任何 \(x,y\in\mathbb{R}\) 有 \(f(x+y)=f(x)+f(y)\). 证明: (1) \(f\) 在 \(\mathbb{R}\) 上连续; (2) \(f(x)=f(1)x.\)
    注：事实上，可以验证 \(f\) 是一维实列向量空间上的线性变换. 类似方法可以处理 \(f(x+y)=f(x)f(y)\) 型问题, 无非是取对数将乘法转为加法, 事实上这时 \(f\) 就是指数函数.
14. **[华四第二章总练习题12] 设 \(f(x)\) 是区间 \([a,b]\) 上的一个非常数的连续函数, \(M,m\) 分别是最大、最小值. 求证: 存在 \([\alpha,\beta]\in[a,b]\), 使得: (i) \(m<f(x)<M, \ x\in(\alpha,\beta)\); (ii) \(f(\alpha),f(\beta)\) 恰是 \(f(x)\) 上的最大、最小值（最小、最大值）.
    注：构造 \(S=\{x\in[a,b]|f(x)=m\}, \ T=\{x\in[a,b]|f(x)=M\}.\)
15. [李例2-1-1-3] 讨论函数 \(f(x)=\begin{cases}x(1-x), & x\in\mathbb{Q},\\ x(1+x) & x\in\overline{\mathbb{Q}}\end{cases}\) 的连续性和可微性.
16. [李例2-1-1-5] 已知 \(f(x)=\begin{cases}x, & 0\le x<1\\ k+1 & k\le x<k+1 \ (k=1,2,\cdots)\end{cases}.\) 求函数 \(g(y)=\sup\limits_{f(x)<y}x\) 在 \(y\ge0\) 时的具体表达式, 并讨论其各点的连续性.
    注：画图好分析.
17. [李例2-1-1-6] 设 \(f_1(x),f_2(x),f_3(x)\) 均为 \([a,b]\) 上的连续函数, 若 \(h(x)\) 为 \(f_1(x),f_2(x),f_3(x)\) 三者中间值, 证明 \(h(x)\) 在 \([a,b]\) 上的连续函数.
    注：\(h(x)=f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)-\max\{f_1,f_2,f_3\}-\min\{f_1,f_2,f_3\}.\)
18. **[李例2-1-2-2] 若 \(f(x)\in C[a,b]\), 证明函数 \(m(x)=\min\limits_{a\le \xi\le x}\{f(\xi)\}\in C[a,b].\)
    注：注意到 \(m(x)\) 是单调递减函数, 对 \(\forall x_0\in[a,b]\), 分别讨论在 \(x_0\) 处的左右连续性 (利用 \(f\) 在 \(x_0\) 处的连续性).
19. *[李例2-1-4-3] 设 \(f(x),g(x)\) 在区间 \(I\) 上一致连续, 试问:
    (1) \(f,g\) 是否在 \(I\) 上有界?
    (2) \(f,g\) 是否在 \(I\) 上能取得最值?
    (3) \(f\cdot g\) 是否在 \(I\) 上一致连续?
    注：将区间 \(I\) 分有限区间和无限区间讨论.
20. \(\star\)[李例2-1-5-2] 若 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty]\) 上连续, \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=A\). 证明:
    (1) \(f\) 在 \([a,+\infty)\) 上一致连续;
    (2) \(f\) 在 \([a,+\infty]\) 上有界;
    (3) \(f\) 在 \([a,+\infty)\) 上必有最大值或最小值.
21. [李例2-1-5-练习(11)] 证明 \(f(x)=\frac{x^{k}}{e^{x^2}} \ (k>0)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上一致连续且有界.
    注：注意到 \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0\), 用同样的方法可证 \(f(x)=\frac{1}{x},\ x\in[a,+\infty); \ f(x)=\frac{\sin x}{x}, \ x\in(0,\pi); \ f(x)=xe^{-x^2}\int_0^xe^{t^2}\mathrm{~d}x, \ x\in[0,+\infty)\)
    一致连续.
22. *[李例2-1-5-练习(7)] 证明函数 \(f(x)=\frac{|\sin x|}{x}\) 在 \(J=\{x|0<|x|<1\}\) 上不一致连续.
    注：在 \(x=0\) 处的左右极限不等，以此为突破口.
23. \(\star\)[李例2-1-6-1] 函数 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上有连续的导函数, 且 \(\lim\limits_{x\to a+}f'(x)\) 与 \(\lim\limits_{x\to b-}f'(x)\) 均存在有限, 证明:
    (1) \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上一致连续; (2) \(\lim\limits_{x\to a+}f(x)\) 与 \(\lim\limits_{x\to b-}f(x)\) 均存在.
    注：利用此命题可以证明 \(f(x)=\sqrt{x}\ln x, x\in[1,+\infty)\) 上一致连续 (导函数有界).
    考察在无穷区间 \([a,+\infty)\) 上连续的函数是否一致连续:
    • 考察 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) 是否存在且有限, 若存在且有限即得 \(f(x)\) 在 \([a,+\infty)\) 上一致连续;
    • 考察导函数是否有界, 有界则一致连续.
24. \(\star\)[李例2-1-6-5] 设函数 \(f(x)\) 在 \([0,+\infty]\) 上连续, 在 \((0,+\infty)\) 内可微, 且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}|f'(x)|=A\), 证明: \(f(x)\) 在 \([0,+\infty)\) 上一致连续当且仅当 \(A<+\infty.\)
25. [李例2-2-1-5] 设 \(f_n(x)=x+x^2+\cdots+x^n \ (n=2,3,\cdots).\) 证明
    (1) 方程 \(f_n(x)=1\) 在 \([0,+\infty)\) 上有且仅有一个实根 \(x_n\);
    (2) 数列 \(\{x_n\}\) 有极限, 并求 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n.\)
26. *[李例2-2-2-2] 设 \(f(x)\) 满足 \(f([a,b])\subset[a,b]\), 且 \(|f(x)-f(y)|\le|x-y|,\forall x,y\in[a,b].\) \(\forall x_1\in[a,b]\), 令 \(x_{n+1}=\frac{x_n+f(x_n)}{2},n=1,2,\cdots\). 证明数列 \(\{x_n\}\) 有极限 \(x_0\), 且 \(f(x_0)=x_0.\)
    注：归纳法+单调有界.
27. *[李例2-2-2-4] 若 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上可微, 且 \(|f'(x)|\le r<1\), 证明: 存在 \(a\) 使得 \(f(a)=a\).
    注：构造 \(x_n=f(x_{n-1})\).
28. \(\star\)*[李例2-2-3-1] 设 \(f(x)\in C[0,1]\). 证明: \(\lim\limits_{t\to +\infty}\int_0^1te^{-t^2x^2}f(x)\mathrm{~d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}f(0).\)
    注：\(\frac{\sqrt{\pi}}{2}=\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\mathrm{~d}x.\)
29. **[李例2-2-7-1] 设 \(f(x)\) 在 \([0,+\infty)\) 上一致连续, 且 \(\forall x>0\), 有 \(\lim\limits_{n\to\infty}f(x+n)=0 (n\in\mathbb{N}^+).\) 证明: \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0.\)
    注：注意到对 \(\forall x>0,\exists \hat{x}\in[0,1],n\in\mathbb{N},x.t. x=\hat{x}+n\). 对区间 \([0,1]\) 进行划分即可.
30. \(\star\)**[李例2-2-7-2] 设 \(f(x)\) 在 \(\mathbb{R}\) 上一致连续, 则存在 \(a,b\in\mathbb{R}^+\) 使得 \(|f(x)|\le a|x|+b,\forall x\in\mathbb{R}\).
    注：利用此方法可证明：当 \(f(x)\) 在 \([1,+\infty)\) 上一致连续时, \(\frac{f(x)}{x}\) 在 \([1,+\infty)\) 上有界.
31. [李例2-2-7连续2] 设 \(f(x)\) 在 \([0,+\infty)\) 上一致连续, 且对 \(\forall \delta>0, \ \lim\limits_{n\to\infty}f(n\delta)=0\), 求证 \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0.\)