实数完备性理论问题总结

实数完备性

相关概念

实数基本性质：

1. 有序性
2. 传递性
3. Archimedes 性（对 \(\forall a,b\in\mathbb{R}\), 若 \(b>a>0\), 则 \(\exists n\in\mathbb{N}^+\), 使得 \(na>b.\)
4. 稠密性

实数系基本定理：

1. 确界原理：设 \(S\) 为非空数集. 若 \(S\) 有上界，则 \(S\) 必有上确界；若 \(S\) 有下界，则 \(S\) 必有下确界.

2. 单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限.

3. 区间套定理：若 \(\{[a_n,b_n]\}\) 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点 \(\xi\)，使得 \(\xi \in [a_n,b_n], \ n=1,2,\cdots,\) 即

   \[a_n \leq \xi \leq b_n, \quad n=1,2,\cdots. \]

4. Heine-Borel 有限覆盖定理：设 \(H\) 为闭区间 \([a,b]\) 的一个（无限）开覆盖，则从 \(H\) 中可选出有限个开区间来覆盖 \([a,b]\).

5. Weierstrass 聚点定理：实轴上的任一有界无限点集 \(S\) 至少有一个聚点.
   推论：（致密性定理）任何有界数列必有收敛的子列.

6. Cauchy 收敛准则：数列 \(\{a_n\}\) 收敛的充要条件是：对任给的 \(\varepsilon >0\)，存在正整数 \(N\)，使得当 \(n,m>N\) 时有 \(|a_n-a_m|<\varepsilon.\)

判断题

1. 设 \(f(x)\) 定义在 \([-a,a]\) 上，则 \(f\) 一定能表示成某个奇函数与某个偶函数之和.
2. [华四7.1.4] 在有理数集上确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则也成立.
3. [华四7.1.1] 数集 \(\{(-1)^n+\frac{1}{n}\}\) 有且只有两个聚点.
4. 如果一个开区间 \((a,b)\) 被一族开区间所覆盖，则 \((a,b)\) 不一定能被这一族开区间中的有限个开区间所覆盖.
   注：\((0,1), \ I=\{(\frac{1}{n},1)|n=1,2,\cdots\}\).
5. 如果一个无穷限区间 \([1,+\infty)\) 能被一族开区间所覆盖，则 \([1,+\infty)\) 也不一定能被其中的有限个开区间所覆盖.
6. 存在数列 \(\{x_n\}\) 的聚点为 \((0,1)\).

证明题

1. [华四1.1例1] 证明：两个不相等的实数之间必有一个有理数.
   注：实数的 Archimedes 性.

2. [华四1.1.8] 设 \(p\) 是正整数. 证明: 若 \(p\) 不是完全平方数, 则 \(\sqrt{p}\) 是无理数.
   注：用反证法.

3. [华四1.4例6] 证明: \(y=a^x\) 当 \(a>1\) 时在 \(\mathbb{R}\) 上严格递增; 当 \(0<a<1\) 时在 \(\mathbb{R}\) 上严格递减.
   注：实数集上指数函数的定义.

   \[a^x=\begin{cases} \sup\limits_{r<x}\{a^r|r\in\mathbb{Q}\}, & a>1\\ \inf\limits_{r<x}\{a^r|r\in\mathbb{Q}\}, & 0<a<1 \end{cases} \]

4. [华四1.4.10] 证明：任意有理数都是 Dirichlet 函数的周期，任意无理数都不是 Dirichlet 函数的周期.
   注：有理数集对四则运算封闭.

5. [华四第一章总练习题12] 设 \(f,g\) 为 \(D\) 上的有界函数. 证明: \(\inf\limits_D\{f+g\}\le\inf\limits_Df+\sup\limits_D g.\)

6. [华四第一章总练习题17] 证明 Riemann 函数在 \((0,1)\) 上任意点的任意领域内无界.

7. [华四定理2.9] 用确界原理证明单调有界定理.
   注：7~12为实数系六大定理的等价性证明

8. *[华四定理7.1] 用单调有界定理证明区间套定理.

9. **[华四定理7.3] 用区间套定理证明 Heine-Borel 有限覆盖定理.

10. *[华四7.1.8] 用 Heine-Borel 有限覆盖定理定理证明 Weierstrass 聚点定理.

11. **[华四7.1.9] 用聚点定理证明 Cauchy 收敛准则.

12. **[华四7.1例3] 用 Cauchy 收敛准则证明确界原理.

13. *[华四7.1例1] 用区间套定理证明连续函数根的存在性定理.

14. *[华四7.1定理7.2] 用区间套定理证明 Weierstrass 聚点定理。

15. *[华四7.2定理7.4] 用区间套定理证明：有界无限点列（数列）\(\{x_n\}\) 至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.
    注：这只是对定理7.2证明过程的一个调整.

16. *[华四2.3例5] 任何数列都有单调子列.

17. [华四定理2.10] 用单调有界定理证明致密性定理.

18. *[华四定理2.11] 用致密性定理证明 Cauchy 收敛准则.

19. [华四定理7.2] 用致密性定理证明 Weierstrass 聚点定理.

20. **[华四第七章总练习题2] 用确界原理证明有限覆盖定理.
    注：构造集合 \(S=\{c|c\in(a,b],s.t. [a,c] 能被有限覆盖\}\).

21. *[华四7.1例2] 用有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的有界性.
    注：利用连续函数的局部有界性.

22. **[华四7.1.10] 用有限覆盖定理证明根的存在性定理.
    注：反证法，利用连续函数的保号性.

23. **[华四7.1.11] 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理.
    注：开区间列半径的有意减半.

24. [华四7.2.2(4)] 设 \(a_n>0,\underline{\lim}\limits_{n\to\infty}a_n>0\), 证明 \(\overline{\lim}\limits_{n\to\infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{\underline{\lim}\limits_{n\to\infty}a_n}.\)

25. **[华四第七章总练习题3] 设 \(\underline{\lim}\limits_{n\to\infty}x_n=A<B=\overline{\lim}\limits_{n\to\infty}x_n, \ \lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_n)=0\). 证明: 数列 \(\{x_n\}\) 的聚点全体恰为闭区间 \([A,B].\)
    注：反证法.

26. *[华四7.1.7]设 \(\{x_n\}\) 是单调数列. 证明: 若 \(\{x_n\}\) 存在聚点, 则必是唯一的, 且为 \(\{x_n\}\) 的上确界.

27. *[裴1.1.9] 设 \(A,B\) 是两个由非负数组成的任意数集，证明：\(\sup\limits_{x\in A}x\cdot\sup\limits_{y\in B}y=\sup\limits_{x\in A, \ y\in B}xy\).

28. **[裴1.1.11] 设 \(f,g\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的实函数，且 \(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y), \ \ \forall x,y\in\mathbb{R}.\) 在 \(\mathbb{R}\) 上 \(f(x)\) 不恒等于零，但有界，证明：\(|g(y)|\le1 \ (\forall y\in\mathbb{R}).\)

29. **[裴1.1.12] 设 \(f\) 是闭区间 \([a,b]\) 上的增函数，若 \(f(a)\ge a,f(b)\le b\)，证明：\(\exists x_0\in[a,b]\)，使得 \(f(x_0)=x_0\).