数列极限与函数极限问题总结

数列极限与函数极限

一、判断题（给反例）

1. [华四第2章总练习题11] 若 $\{a_n\},\{b_n\}$ 均为无界数列，则 $\{a_nb_n\}$ 一定是无界数列.

   注：无穷大量和无界量的定义.

2. [华四3.2.7(1)] 设 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B$, 若在某 $U^o(x_0)$ 上有 $f(x)<g(x)$, 则 $A<B$.

3. [华四3.5.6(2)] 当 $x\to\infty$ 时, $x^2$ 与 $x+x^2(2+\sin x)$ 是同阶无穷大量.

   注：同阶无穷大量的定义.

4. [华四第3章总习题5] 设 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=A,\lim\limits_{u\to A}g(u)=B$, 则 $\lim\limits_{x\to a}g(f(a))=B.$

5. *[裴1.1.2] 存在函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上每点取有限值，但在此区间的任何点的任意领域内无界.

6. [裴例1.2.8] 数列 $\{a_n\}$ 存在极限 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\Longleftrightarrow$ 对任意自然数 $p$，都有 $\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0.$

二、计算题

（一）数列极限

1. [华四2.2.8(1)] $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$.

2. [华四2.2.8(2)] $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sum\limits_{p=1}^np!}{(n)!}$

3. *[裴例1.3.10(3)] $\lim\limits_{n\to\infty}\left[(n^k+1)^{-1/k}+(n^k-1)^{-1/k}\right]$.

4. *[裴例1.3.6] $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{n}\prod\limits_{i=1}^n\frac{e^{1-1/i}}{\left(1+\frac{1}{i}\right)^i}$.

5. $\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1^3+2^3+\cdots+k^3}}$.

6. *[裴例1.3.13(5)] $\lim\limits_{n\to\infty}n\sin(2\pi n!e).$

7. [裴例1.3.14(4)] $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$.

8. *[裴例1.3.14(5)] $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}+\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{n+\frac{2}{n}}+\cdots+\frac{\sin{\pi}}{n+1}$.

9. *[裴1.3.9] 设 $\lim\limits_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$ 存在，求 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}.$

10. **$\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^{+\infty}\frac{ne^{-nx}}{2+3^x}\mathrm{~d}x$.

    注：证明 $\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^{+\infty}ne^{-nx}f(x)\mathrm{~d}x=f(0).$

（二）函数极限

1. [华四3.2.8(5)] $\lim\limits_{x\to\infty}\frac{[x]}{x}$.
2. [华四3.5.4(3)] 求函数 $y=\frac{3x^3+4}{x^2-2x}$ 的渐近线.
3. *[华四第3章总练习题1(7)] $\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right), \ \ m,n\in\mathbb{N}^+.$
4. [裴1.3.8] $\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos\sqrt{\tan x-\sin x}}{\sqrt[3]{1+x^3}-\sqrt[3]{1-x^3}}.$
5. [裴例1.3.12练习1] 设 $f(x)$ 有二阶导数，且在原点附近不为零，但 $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0,f''(0)=4.$ 求 $\lim\limits_{x\to0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{1/x}.$
6. *[裴例1.3.12练习2] 设 $f(x)$ 有二阶导数，$f'(0)=0,f''(0)=1$, 且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续. 求 $\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(\ln(1+x))}{x^3}.$
7. *[裴例1.3.13] 设 $f(x)$ 在点 $a$ 处可导且 $f(a)\neq0$, 求 $\lim\limits_{n\to\infty}\left[\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right]^n.$
8. [裴1.3.11] $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+2^n\sin^nx}.$
9. [裴1.3.26] $\lim\limits_{x\to1}(1-x)^{1-n}(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})\cdots(1-\sqrt[n]{x}).$

三、证明题

（一）数列极限

1. [华四2.3例1] 设 $a_n=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots+\frac{1}{n^{\alpha}}, \ \alpha>1$. 证明: $\{a_n\}$ 收敛.

2. [华四2.3例3] *设 $S$ 为有界数集. 证明：若 $\inf S=a\notin S$，则存在严格递减数列 $\{x_n\}\subset S$，使得 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a.$

3. [华四2.3例4] 证明极限 $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 存在，并计算 $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{\sqrt{n}}$.

4. [华四2.3.10] 证明: $\left|e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right|<\frac{3}{n}.$
   注：$\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}$ 单调递增趋于 $e$, $\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right\}$ 单调递减趋于 $e$.

5. [华四2.3例5] 证明：任何数列都有单调子列.
   注：配合单调有界定理可证得致密性定理.

6. [华四第二章总练习题3] 设 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$, 证明 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a$; 若 $a_n>0 \ (n=1,2,\cdots)$, 则 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=a.$
   注：分段法，$a$ 可以是无穷.

7. *[裴1.2.2] 用 $\varepsilon-N$ 方法证明 $\lim\limits_{n\to\infty}n^3q^n=0 \ (|q|<1)$.
   注：放大法

8. **[裴例1.2.1(2)] 设 $\{a_n\}$ 是一数列 $(a_n\neq0)$，满足 $a_n\to 0(n\to\infty)$，定义数集 $P=\{ka_i|k\in\mathbb{Z},i\in\mathbb{N}\}$，证明：对 $\forall b\in\mathbb{R}$，存在 $\{b_n\}\subset P$，使得 $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b.$

9. **[裴例1.2.3] 设实数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_n-x_{n-2}\to0 \ (n\in\infty)$，证明：$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{n}=0.$

10. **[裴例1.2.5] 设 $f(x)\sim x(x\to 0), \ x_n=\sum\limits_{i=1}^nf\left(\frac{2i-1}{n^2}a\right)$，证明：$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a \ (a>0).$
    注：拟合法

11. **[裴例1.2.5练习2] 设 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$，证明 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}(a_0+C_n^1a_1+C_n^2a_2+\cdots+C_n^ka_k+\cdots+a_n)=a.$

12. **[裴例1.2.6] 设 $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}_1, \ n=f(m)$ $($$\mathbb{N}$ 和 $\mathbb{N}_1$ 都是全体自然数组成的空间$)$，且 $\forall n\in\mathbb{N}: \ f^{-1}(n)$ 为有限集. 证明：若 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\stackrel{存在}{=}a$，则 $\lim\limits_{m\to\infty}a_{f(m)}\stackrel{存在}{=}a.$

13. **[裴例1.2.10练习1] 设数列 $\{x_n\}$ 满足：当 $n<m$ 时，有 $|x_n-x_m|>\frac{1}{n}$. 证明：$\{x_n\}$ 无界.

14. [裴例1.2.11] 设 $x_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n$，证明：$\{x_n\}$ 收敛.

15. *[裴例1.3.18] 设 $x_n=\frac{1}{2\ln 2}+\cdots+\frac{1}{n\ln n}-\ln\ln n \ \ (n=2,3,\cdots)$，证明：$\{x_n\}$ 收敛.

16. *[裴例1.2.12] 设 $x_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}-2\sqrt{n}$，证明：$\{x_n\}$ 收敛.

17. **[裴1.2.10] 设 $\{x_n\}$ 是无界数列，但不是无穷大量，证明：存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列.

18. *[裴例1.3.7] 设 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b$，证明：$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_1y_n+x_2y_{n-1}+\cdots+x_ny_1}{n}=ab.$

19. **[裴例1.3.11] 设 $f(x)>0$，且在 $[0,1]$ 上连续，证明：$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sum\limits_{i=1}^n\left[f\left(\frac{i}{n}\right)\right]^n\cdot\frac{1}{n}}=\max\limits_{0\le x\le 1}f(x).$

20. *[裴1.3.2] 证明 Vieta 公式：$\frac{2}{\pi}=\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\cdot\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}\cdots$

21. **[裴例1.5.20练习2] 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{2n}}{2n}=a,\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{2n+1}}{2n+1}=b$, 试证：$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{1+2+\cdots+n}=\frac{a+b}{2}.$

22. ***[裴例1.5.23] 设 $a_1,b_1$ 为任意选定的两实数, 定义 $a_n,b_n$ 如下：

    $$a_n=\int_0^1\max\{b_{n-1},x\}\mathrm{~d}x,\quad b_n=\int_0^1\min\{a_{n-1},x\}\mathrm{~d}x\ \ (n=2,3,\cdots).$$

    证明: $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=2-\sqrt{2},\ \lim\limits_{n\to\infty}b_n=\sqrt{2}-1.$

23. *[裴例1.5.4] 设 $x_1=1,x_2=\frac{1}{2},x_{n+1}=\frac{1}{1+x_n}$, 求 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n.$

（二）函数极限

1. *[华四3.1.8] 证明: 黎曼函数 $R(x)$ 在 $[0,1]$ 的任一点处极限都存在且为 $0$ (在端点处考察单侧极限).

2. *[华四3.4.4] 设 $f(x)$ 在 $U^o(x_0)$ 内有定义. 证明：对任何数列 $\{x_n\}\subset U^o(x_0)$ 且 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$, 极限 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)$ 存在，则所有这些极限都相等.
   注：用反证法.

3. **[华四第3章总练习题11] 设 $f$ 为 $U^o_-(x_0)$ 上的递增数列. 证明: 若存在数列 $\{x_n\}\subset U^o_-(x_0)$ 且 $x_n\to x_0 \ (n\to\infty)$, 使得 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$, 则有 $f(x_0-0)=\sup\limits_{x\in U^o_-(x_0)}f(x)=A.$

4. **[华四第3章总练习题14] 设函数 $f$ 定义在 $(a,+\infty)$ 上, $f$ 在每一个有限区间 $(a,b)$ 上有界, 并满足 $\lim\limits_{x\to+\infty}\left(f(x+1)-f(x)\right)=A$. 证明：$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=A.$

5. *[裴例1.2.14] 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个领域 $I$ （点 $x_0$ 可能例外）内有定义，证明：若对任意点列 $\{x_n\}$，满足 $x_n\in I, \ x_n\to x_0(n\to\infty), \ 0<|x_{n+1}-x_0|<|x_n-x_0|$，都有 $\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A$，则 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A.$
   注：其实就是 Heine 定理 的证明手段

6. *[裴例1.3.21] 设 $f'(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且 $\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)+f'(x)]=0$，证明：$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0.$
   注：强化的 $L'Hospital$ 法则

7. *[裴例1.3.22] 设 $f(x)$ 在实轴上有界，且连续可微，并满足 $|f(x)-f'(x)|\le 1 \ (-\infty<x<+\infty)$, 证明：$|f(x)|\le1 \ (-\infty<x<+\infty)$.

8. **[裴例1.3.23] 设 $f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)$ 单调递增，且 $\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{f(2t)}{f(t)}=1$. 证明：对任意 $m>0$，有 $\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{f(mt)}{t}=1.$