数列极限与函数极限问题总结

数列极限与函数极限

一、判断题（给反例）

1. [华四第2章总练习题11] 若 \(\{a_n\},\{b_n\}\) 均为无界数列，则 \(\{a_nb_n\}\) 一定是无界数列.

   注：无穷大量和无界量的定义.

2. [华四3.2.7(1)] 设 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B\), 若在某 \(U^o(x_0)\) 上有 \(f(x)<g(x)\), 则 \(A<B\).

3. [华四3.5.6(2)] 当 \(x\to\infty\) 时, \(x^2\) 与 \(x+x^2(2+\sin x)\) 是同阶无穷大量.

   注：同阶无穷大量的定义.

4. [华四第3章总习题5] 设 \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=A,\lim\limits_{u\to A}g(u)=B\), 则 \(\lim\limits_{x\to a}g(f(a))=B.\)

5. *[裴1.1.2] 存在函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上每点取有限值，但在此区间的任何点的任意领域内无界.

6. [裴例1.2.8] 数列 \(\{a_n\}\) 存在极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\Longleftrightarrow\) 对任意自然数 \(p\)，都有 \(\lim\limits_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0.\)

二、计算题

（一）数列极限

1. [华四2.2.8(1)] \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\).

2. [华四2.2.8(2)] \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sum\limits_{p=1}^np!}{(n)!}\)

3. *[裴例1.3.10(3)] \(\lim\limits_{n\to\infty}\left[(n^k+1)^{-1/k}+(n^k-1)^{-1/k}\right]\).

4. *[裴例1.3.6] \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{n}\prod\limits_{i=1}^n\frac{e^{1-1/i}}{\left(1+\frac{1}{i}\right)^i}\).

5. \(\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1^3+2^3+\cdots+k^3}}\).

6. *[裴例1.3.13(5)] \(\lim\limits_{n\to\infty}n\sin(2\pi n!e).\)

7. [裴例1.3.14(4)] \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\).

8. *[裴例1.3.14(5)] \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}+\frac{\sin\frac{2\pi}{n}}{n+\frac{2}{n}}+\cdots+\frac{\sin{\pi}}{n+1}\).

9. *[裴1.3.9] 设 \(\lim\limits_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)\) 存在，求 \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}.\)

10. **\(\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^{+\infty}\frac{ne^{-nx}}{2+3^x}\mathrm{~d}x\).

    注：证明 \(\lim\limits_{n\to\infty}\int_0^{+\infty}ne^{-nx}f(x)\mathrm{~d}x=f(0).\)

（二）函数极限

1. [华四3.2.8(5)] \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{[x]}{x}\).
2. [华四3.5.4(3)] 求函数 \(y=\frac{3x^3+4}{x^2-2x}\) 的渐近线.
3. *[华四第3章总练习题1(7)] \(\lim\limits_{x\to1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right), \ \ m,n\in\mathbb{N}^+.\)
4. [裴1.3.8] \(\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cos\sqrt{\tan x-\sin x}}{\sqrt[3]{1+x^3}-\sqrt[3]{1-x^3}}.\)
5. [裴例1.3.12练习1] 设 \(f(x)\) 有二阶导数，且在原点附近不为零，但 \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}=0,f''(0)=4.\) 求 \(\lim\limits_{x\to0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{1/x}.\)
6. *[裴例1.3.12练习2] 设 \(f(x)\) 有二阶导数，\(f'(0)=0,f''(0)=1\), 且 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处连续. 求 \(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(\ln(1+x))}{x^3}.\)
7. *[裴例1.3.13] 设 \(f(x)\) 在点 \(a\) 处可导且 \(f(a)\neq0\), 求 \(\lim\limits_{n\to\infty}\left[\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right]^n.\)
8. [裴1.3.11] \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+2^n\sin^nx}.\)
9. [裴1.3.26] \(\lim\limits_{x\to1}(1-x)^{1-n}(1-\sqrt{x})(1-\sqrt[3]{x})\cdots(1-\sqrt[n]{x}).\)

三、证明题

（一）数列极限

1. [华四2.3例1] 设 \(a_n=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\cdots+\frac{1}{n^{\alpha}}, \ \alpha>1\). 证明: \(\{a_n\}\) 收敛.

2. [华四2.3例3] *设 \(S\) 为有界数集. 证明：若 \(\inf S=a\notin S\)，则存在严格递减数列 \(\{x_n\}\subset S\)，使得 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a.\)

3. [华四2.3例4] 证明极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) 存在，并计算 \(\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{\sqrt{n}}\).

4. [华四2.3.10] 证明: \(\left|e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right|<\frac{3}{n}.\)
   注：\(\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right\}\) 单调递增趋于 \(e\), \(\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right\}\) 单调递减趋于 \(e\).

5. [华四2.3例5] 证明：任何数列都有单调子列.
   注：配合单调有界定理可证得致密性定理.

6. [华四第二章总练习题3] 设 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\), 证明 \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a\); 若 \(a_n>0 \ (n=1,2,\cdots)\), 则 \(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=a.\)
   注：分段法，\(a\) 可以是无穷.

7. *[裴1.2.2] 用 \(\varepsilon-N\) 方法证明 \(\lim\limits_{n\to\infty}n^3q^n=0 \ (|q|<1)\).
   注：放大法

8. **[裴例1.2.1(2)] 设 \(\{a_n\}\) 是一数列 \((a_n\neq0)\)，满足 \(a_n\to 0(n\to\infty)\)，定义数集 \(P=\{ka_i|k\in\mathbb{Z},i\in\mathbb{N}\}\)，证明：对 \(\forall b\in\mathbb{R}\)，存在 \(\{b_n\}\subset P\)，使得 \(\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b.\)

9. **[裴例1.2.3] 设实数列 \(\{x_n\}\) 满足 \(x_n-x_{n-2}\to0 \ (n\in\infty)\)，证明：\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_n-x_{n-1}}{n}=0.\)

10. **[裴例1.2.5] 设 \(f(x)\sim x(x\to 0), \ x_n=\sum\limits_{i=1}^nf\left(\frac{2i-1}{n^2}a\right)\)，证明：\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a \ (a>0).\)
    注：拟合法

11. **[裴例1.2.5练习2] 设 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\)，证明 \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}(a_0+C_n^1a_1+C_n^2a_2+\cdots+C_n^ka_k+\cdots+a_n)=a.\)

12. **[裴例1.2.6] 设 \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}_1, \ n=f(m)\) \((\)\(\mathbb{N}\) 和 \(\mathbb{N}_1\) 都是全体自然数组成的空间\()\)，且 \(\forall n\in\mathbb{N}: \ f^{-1}(n)\) 为有限集. 证明：若 \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n\stackrel{存在}{=}a\)，则 \(\lim\limits_{m\to\infty}a_{f(m)}\stackrel{存在}{=}a.\)

13. **[裴例1.2.10练习1] 设数列 \(\{x_n\}\) 满足：当 \(n<m\) 时，有 \(|x_n-x_m|>\frac{1}{n}\). 证明：\(\{x_n\}\) 无界.

14. [裴例1.2.11] 设 \(x_n=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\)，证明：\(\{x_n\}\) 收敛.

15. *[裴例1.3.18] 设 \(x_n=\frac{1}{2\ln 2}+\cdots+\frac{1}{n\ln n}-\ln\ln n \ \ (n=2,3,\cdots)\)，证明：\(\{x_n\}\) 收敛.

16. *[裴例1.2.12] 设 \(x_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}-2\sqrt{n}\)，证明：\(\{x_n\}\) 收敛.

17. **[裴1.2.10] 设 \(\{x_n\}\) 是无界数列，但不是无穷大量，证明：存在两个子列，一个是无穷大量，另一个是收敛子列.

18. *[裴例1.3.7] 设 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a,\lim\limits_{n\to\infty}y_n=b\)，证明：\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x_1y_n+x_2y_{n-1}+\cdots+x_ny_1}{n}=ab.\)

19. **[裴例1.3.11] 设 \(f(x)>0\)，且在 \([0,1]\) 上连续，证明：\(\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sum\limits_{i=1}^n\left[f\left(\frac{i}{n}\right)\right]^n\cdot\frac{1}{n}}=\max\limits_{0\le x\le 1}f(x).\)

20. *[裴1.3.2] 证明 Vieta 公式：\(\frac{2}{\pi}=\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\cdot\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}\cdots\)

21. **[裴例1.5.20练习2] 已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{2n}}{2n}=a,\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{2n+1}}{2n+1}=b\), 试证：\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{1+2+\cdots+n}=\frac{a+b}{2}.\)

22. ***[裴例1.5.23] 设 \(a_1,b_1\) 为任意选定的两实数, 定义 \(a_n,b_n\) 如下：

    \[a_n=\int_0^1\max\{b_{n-1},x\}\mathrm{~d}x,\quad b_n=\int_0^1\min\{a_{n-1},x\}\mathrm{~d}x\ \ (n=2,3,\cdots). \]

    证明: \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=2-\sqrt{2},\ \lim\limits_{n\to\infty}b_n=\sqrt{2}-1.\)

23. *[裴例1.5.4] 设 \(x_1=1,x_2=\frac{1}{2},x_{n+1}=\frac{1}{1+x_n}\), 求 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n.\)

（二）函数极限

1. *[华四3.1.8] 证明: 黎曼函数 \(R(x)\) 在 \([0,1]\) 的任一点处极限都存在且为 \(0\) (在端点处考察单侧极限).

2. *[华四3.4.4] 设 \(f(x)\) 在 \(U^o(x_0)\) 内有定义. 证明：对任何数列 \(\{x_n\}\subset U^o(x_0)\) 且 \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0\), 极限 \(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)\) 存在，则所有这些极限都相等.
   注：用反证法.

3. **[华四第3章总练习题11] 设 \(f\) 为 \(U^o_-(x_0)\) 上的递增数列. 证明: 若存在数列 \(\{x_n\}\subset U^o_-(x_0)\) 且 \(x_n\to x_0 \ (n\to\infty)\), 使得 \(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A\), 则有 \(f(x_0-0)=\sup\limits_{x\in U^o_-(x_0)}f(x)=A.\)

4. **[华四第3章总练习题14] 设函数 \(f\) 定义在 \((a,+\infty)\) 上, \(f\) 在每一个有限区间 \((a,b)\) 上有界, 并满足 \(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(f(x+1)-f(x)\right)=A\). 证明：\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=A.\)

5. *[裴例1.2.14] 设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个领域 \(I\) （点 \(x_0\) 可能例外）内有定义，证明：若对任意点列 \(\{x_n\}\)，满足 \(x_n\in I, \ x_n\to x_0(n\to\infty), \ 0<|x_{n+1}-x_0|<|x_n-x_0|\)，都有 \(\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=A\)，则 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A.\)
   注：其实就是 Heine 定理 的证明手段

6. *[裴例1.3.21] 设 \(f'(x)\) 在 \([0,+\infty)\) 上连续且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)+f'(x)]=0\)，证明：\(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0.\)
   注：强化的 \(L'Hospital\) 法则

7. *[裴例1.3.22] 设 \(f(x)\) 在实轴上有界，且连续可微，并满足 \(|f(x)-f'(x)|\le 1 \ (-\infty<x<+\infty)\), 证明：\(|f(x)|\le1 \ (-\infty<x<+\infty)\).

8. **[裴例1.3.23] 设 \(f:(0,+\infty)\to(0,+\infty)\) 单调递增，且 \(\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{f(2t)}{f(t)}=1\). 证明：对任意 \(m>0\)，有 \(\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{f(mt)}{t}=1.\)