层次分析法—基于R
本文以应用为主，原理不深究.
基本流程
Step1. 构造层次结构图（目标、准则、方案）
例如：
Step2. 构造成对比较矩阵
比较尺度 \(a_{ij}\) 的含义
| \(X_i\) 与 \(X_j\) 的比较尺度 \(a_{ij}\) | 含义 |
|---|---|
| 1 | \(X_i\) 与 \(X_j\) 的重要性相同 |
| 3 | \(X_i\) 比 \(X_j\) 稍微重要 |
| 5 | \(X_i\) 比 \(X_j\) 重要 |
| 7 | \(X_i\) 比 \(X_j\) 明显重要 |
| 9 | \(X_i\) 比 \(X_j\) 绝对重要 |
| 2, 4, 6, 8 | \(X_i\) 与 \(X_j\) 重要性在两个相邻等级之间 |
| 1, 1/2, ···, 1/9 | \(X_i\) 与 \(X_j\) 的重要性比较和以上结果相反 |
Step3. 一致性检验和权向量的计算
一致性指标：
\[CI = \frac{\lambda-n}{n-1}
\]
其中 \(\lambda\) 为成对比较矩阵的最大特征根，为了能用 \(\lambda\) 对应的特征向量作为权向量 \(w\)
引入随机一致性指标 \(RI\) （随机模拟大量正互反阵的一致性指标的平均值得到的）
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| RI | 0 | 0 | 0.58 | 0.90 | 1.12 | 1.24 | 1.32 | 1.41 | 1.45 | 1.49 |
当
\[CR = \frac{CI}{RI} < 0.1
\]
则认为不一致性在允许范围之内，即一致性检验通过. 如果一致性检验不通过，则需要对成对比较矩阵进行修正或者重新构造成对比较矩阵.
若一致性检验通过，则认为 \(\lambda\) 对应的特征向量可以作为权向量 \(w\).
Step4. 计算综合权重
由上一步我们可以了准则层对目标层的权重 \(w_0\)，以及方案层对准则层的权重 \(w_1,w_2,\cdots,w_n\) (\(n\) 为准则层的元素个数).
构造 $W = [w_1,w_2,\cdots,w_n] $，则可以得到方案层对目标层的综合权重为
\[W^{(0)} = Ww_0
\]
由此可以得到优劣顺序.
实例
计划在三个候选房中买一套住房，考虑的因素有交通条件、环境因素、性价比和物业服务. 假设对这四个因素的重视程度可以用成对比较矩阵
\[A =
\left[
\begin{array}{c}
1 & 4 & \frac{1}{5} & 2\\
\frac{1}{4} & 1 & \frac{1}{7} & 1\\
5 & 7 & 1 & 6\\
\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{6} & 1
\end{array}
\right]
\]
另一方面，这三套候选房在四个因素之中的优劣程度可以分别用成对比较矩阵
\[B_1 =
\left[
\begin{array}{c}
1 & 2 & 2\\
\frac{1}{2} & 1 & 1\\
\frac{1}{2} & 1 & 1
\end{array}
\right],
B_2 =
\left[
\begin{array}{c}
1 & 3 & 2\\
\frac{1}{3} & 1 & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & 2 & 1
\end{array}
\right],
B_3 =
\left[
\begin{array}{c}
1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{4}\\
5 & 1 & 1\\
4 & 1 & 1
\end{array}
\right],
B_4 =
\left[
\begin{array}{c}
1 & 2 & 3\\
\frac{1}{2} & 1 & 2\\
\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1
\end{array}
\right]
\]
刻画，请用层次分析法得出这三套房子的优劣.
模型求解
Step1. 构造层次结构图（目标、准则、方案）
Step2. 构造成对比较矩阵
已知
\[A =
\left[
\begin{array}{c}
1 & 4 & \frac{1}{5} & 2\\
\frac{1}{4} & 1 & \frac{1}{7} & 1\\
5 & 7 & 1 & 6\\
\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{6} & 1
\end{array}
\right]\\
B_1 =
\left[
\begin{array}{c}
1 & 2 & 2\\
\frac{1}{2} & 1 & 1\\
\frac{1}{2} & 1 & 1
\end{array}
\right],
B_2 =
\left[
\begin{array}{c}
1 & 3 & 2\\
\frac{1}{3} & 1 & \frac{1}{2}\\
\frac{1}{2} & 2 & 1
\end{array}
\right],
B_3 =
\left[
\begin{array}{c}
1 & \frac{1}{5} & \frac{1}{4}\\
5 & 1 & 1\\
4 & 1 & 1
\end{array}
\right],
B_4 =
\left[
\begin{array}{c}
1 & 2 & 3\\
\frac{1}{2} & 1 & 2\\
\frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1
\end{array}
\right]
\]
Step3. 一致性检验和权向量的计算
RI <- c('1' = 0, '2' = 0,
'3' = 0.58, '4' = 0.9,
'5' = 1.12, '6' = 1.24,
'7' = 1.32, '8' = 1.41,
'9' = 1.45, '10' = 1.49)
fun1 <- function(M) {
n <- sqrt(length(M))
ri <- RI[n] # 对应数值n的随机一致性指标
M_eig <- eigen(M) # 矩阵M所对应的特征根和特征向量
value_max <- Re(M_eig$values[1]) # 最大特征值实部
eig_vec_M = M_eig$vectors # 特征向量
cat('特征向量为:\n')
print(eig_vec_M) # 输出特征向量
cat('\n')
x_M <- eig_vec_M[,1]
w_M <- x_M/(sum(x_M)) # 归一化
if ((value_max-n)/(n-1) < 0.1*ri) {
cat('一致性检验通过, 权向量为:\n')
cat(Re(w_M)) # 输出权向量
}
else cat('一致性检验未通过')
}
检验成对比较矩阵 \(A\):
A = matrix(c(1,1/4,5,1/2,4,1,7,1,1/5,1/7,1,1/6,2,1,6,1), ncol = 4)
fun1(A)
特征向量为:
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] -0.2821127+0i -0.11029704+0.29898239i -0.11029704-0.29898239i 0.06265520+0i
[2,] -0.1076275+0i -0.08262200-0.06504082i -0.08262200+0.06504082i -0.06044221+0i
[3,] -0.9443907+0i 0.93948420+0.00000000i 0.93948420+0.00000000i -0.97860015+0i
[4,] -0.1302110+0i 0.02485836-0.06433420i 0.02485836+0.06433420i 0.18644788+0i
一致性检验通过, 权向量为:
0.1926549 0.07349887 0.644925 0.08892118
检验成对比较矩阵 \(B_1\):
B1 = matrix(c(1,1/2,1/2,2,1,1,2,1,1), ncol = 3)
fun1(B1)
特征向量为:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.8164966 -0.9428090 0.0000000
[2,] 0.4082483 0.2357023 -0.7071068
[3,] 0.4082483 0.2357023 0.7071068
一致性检验通过, 权向量为:
0.5 0.25 0.25
检验成对比较矩阵 \(B_2\):
B2 = matrix(c(1,1/3,1/2,3,1,2,2,1/2,1), ncol = 3)
fun1(B2)
特征向量为:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.8467969+0i 0.8467969+0.0000000i 0.8467969+0.0000000i
[2,] 0.2564554+0i -0.1282277-0.2220969i -0.1282277+0.2220969i
[3,] 0.4660103+0i -0.2330052+0.4035768i -0.2330052-0.4035768i
一致性检验通过, 权向量为:
0.5396146 0.1634241 0.2969613
检验成对比较矩阵 \(B_3\):
B3 = matrix(c(1,5,4,1/5,1,1,1/4,1,1), ncol = 3)
fun1(B3)
特征向量为:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.1559633+0i -0.0779817+0.1350682i -0.0779817-0.1350682i
[2,] 0.7239177+0i 0.7239177+0.0000000i 0.7239177+0.0000000i
[3,] 0.6720257+0i -0.3360128-0.5819913i -0.3360128+0.5819913i
一致性检验通过, 权向量为:
0.1004979 0.4664699 0.4330323
检验成对比较矩阵 \(B_4\):
B4 = matrix(c(1,1/2,1/3,2,1,1/2,3,2,1), ncol = 3)
fun1(B4)
特征向量为:
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.8467969+0i -0.8467969+0.0000000i -0.8467969+0.0000000i
[2,] 0.4660103+0i 0.2330052-0.4035768i 0.2330052+0.4035768i
[3,] 0.2564554+0i 0.1282277+0.2220969i 0.1282277-0.2220969i
一致性检验通过, 权向量为:
0.5396146 0.2969613 0.1634241
Step4. 计算综合权重
由 Step3 可知一致性检验均通过，且
\[w_0 = (0.1926549, 0.07349887, 0.644925, 0.08892118)'\\
w_1 = (0.5, 0.25, 0.25)'\\
w_2 = (0.5396146, 0.1634241, 0.2969613)'\\
w_3 = (0.1004979, 0.4664699, 0.4330323)'\\
w_4 = (0.5396146, 0.2969613, 0.1634241)'
\]
则 \((w_1,w_2,w_3,w_4)_{3\times 4}\times w_0\) 即为综合权重.
w_0 = c(0.1926549, 0.07349887, 0.644925, 0.08892118)
w_1 = c(0.5, 0.25, 0.25)
w_2 = c(0.5396146, 0.1634241, 0.2969613)
w_3 = c(0.1004979, 0.4664699, 0.4330323)
w_4 = c(0.5396146, 0.2969613, 0.1634241)
W = matrix(c(w_1,w_2,w_3,w_4), ncol = 4)
W %*% w_0
[,1]
[1,] 0.2487853
[2,] 0.3874195
[3,] 0.3637953
于是三所房屋的优劣顺序为 \(B, C, A\).
