评级模型之Topsis法—基于R

本文以应用为主，因此原理并不深究

步骤

Step1. 构造初始决策矩阵 $D = (d_{ij})_{m \times n}$
Step2. 按列（属性）对决策矩阵D归一化

$$d_{ij} = \frac{d_{ij}}{\sum\limits_{k=1}^mx_{kj}}$$

记归一化后的矩阵为 $R = (r_{ij})_{m \times n}$.

Step3. 用信息熵法计算权重

$$\begin{aligned} & E_j = -k\sum\limits_{i=1}^mr_{ij}\ln{r_{ij}}, \quad k = \frac{1}{\ln m}\\ & F_j = 1 - E_j\\ & w_j = \frac{F_j}{\sum\limits_{j=1}^nF_j} \end{aligned}$$

Step4. 用Topsis法评价
Topsis 法是理解解的排序方法 (technique for order preference by similarity to ideal solution), 它借助于评价问题的正理想解和负理想解，对各评价对象进行排序。所谓正理想解是一个虚拟的最佳对象，其每个指标值都是对所有评价对象中的该指标的最好值；而负理想解是另一个虚拟的最差对象，其每个指标值都是所有评价对象中该指标的最差值。求出各评价对象与正理想解和负理想解的距离，并依次对各评价对象进行优劣排序。

• 赋权

$$V = RW$$

其中 $W = diag(w_1,w_2,\cdots,w_n)$.

• 计算正理想解 $V^+$ 和负理想解 $V^-$.

$$V^+ = (v_1^+,v_2^+,\cdots,v_n^+) = (\max\limits_{1 \leq i \leq m}v_{i1},\max\limits_{1 \leq i \leq m}v_{i2},\cdots,\max\limits_{1 \leq i \leq m}v_{in})\\ V^- = (v_1^-,v_2^-,\cdots,v_n^-) = (\min\limits_{1 \leq i \leq m}v_{i1},\min\limits_{1 \leq i \leq m}v_{i2},\cdots,\min\limits_{1 \leq i \leq m}v_{in})$$

• 计算正负理想距离

$$S^+ = (s_1^+,s_2^+,\cdots,s_m^+) = \bigg(\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n(v_{1j}-v_j^+)^2},\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n(v_{2j}-v_j^+)^2},\cdots,\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n(v_{mj}-v_j^+)^2}\bigg) \\ S^- = (s_1^-,s_2^-,\cdots,s_m^-) = \bigg(\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n(v_{1j}-v_j^-)^2},\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n(v_{2j}-v_j^-)^2},\cdots,\sqrt{\sum\limits_{j=1}^n(v_{mj}-v_j^+)^2}\bigg)$$

• 计算各评价方案与正理想解的相对接近度 $C^+$，即可得到评价得分.

$$C^+ = (c_1^+,c_2^+,\cdots,c_m^+)$$

其中 $c_i^+ = \frac{s_j^-}{s_j^-+s_j^+}$.

实例

评价五所研究生院教学质量，收集有关数据资料如下

	人均专著 $x_1$ /(本/人)	生师比 $x_2$	科研经费 $x_3$ / (万元/年)	逾期毕业率 $x_4$ / %
1	0.1	5	5000	4.7
2	0.2	6	6000	5.6
3	0.4	7	7000	6.7
4	0.9	10	10000	2.3
5	1.2	2	400	1.8

基于信息熵法与 Topsis 法给出五所研究生院的评价

模型求解

Step1. 构造初始决策矩阵 $D = (d_{ij})_{m \times n}$
显然题意可以判断 $x_1,x_3$ 位效益型属性，$x_2,x_4$ 为消费型属性.

D <- matrix(c(0.1, 0.2, 0.4, 0.9, 1.2,
              1/5, 1/6, 1/7, 1/10, 1/2,
              5000, 6000, 7000, 10000, 400,
              1/4.7, 1/5.6, 1/6.7, 1/2.3, 1/1.8), nrow = 5)

Step2. 按列（属性）对决策矩阵D归一化

col_sum <- apply(D, 2, sum) # 2代表列
ColSum <- matrix(c(col_sum, col_sum, col_sum, col_sum, col_sum ), nrow = 5, byrow = T) # 按行填入
R <- D/ColSum
R

##      [,1]       [,2]       [,3]       [,4]
## [1,] 0.03571429 0.18025751 0.17605634 0.13897831
## [2,] 0.07142857 0.15021459 0.21126761 0.11664251
## [3,] 0.14285714 0.12875536 0.24647887 0.09749224
## [4,] 0.32142857 0.09012876 0.35211268 0.28399915
## [5,] 0.42857143 0.45064378 0.01408451 0.36288780

Step3. 用信息熵法计算权重

Entropy <- function(x) -sum(x*log(x))/log(5)
E <- apply(R, 2, Entropy)
F <- 1 - E
w <- F/sum(F)
w

## [1] 0.3670204 0.2179919 0.2510037 0.1639840

Step4. 用Topsis法评价

• 赋权

W <- diag(w)
V <- R %*% W

• 计算正理想解 $V^+$ 和负理想解 $V^-$.

v_max <- apply(V, 2, max)
v_min <- apply(V, 2, min)

• 计算正负理想距离

V_MAX <- matrix(c(v_max, v_max, v_max, v_max, v_max), nr = 5, byrow = TRUE)
V_MIN <- matrix(c(v_min, v_min, v_min, v_min, v_min), nr = 5, byrow = TRUE)
fun <- function(x) sqrt(sum(x^2))
s_max <- apply(V-V_MAX, 1, fun)
s_min <- apply(V-V_MIN, 1, fun)

• 计算各评价方案与正理想解的相对接近度 $C^+$，即可得到评价得分.

C <- s_min/(s_max + s_min)
C

## [1] 0.2157095 0.2533230 0.3423939 0.6089369 0.6669153

因此五所研究院的得分为 $0.2157095, 0.2533230, 0.3423939, 0.6089369, 0.6669153$.

故五所研究院的排名顺序 $5 > 4 > 3 > 2 > 1$.