空间中任意一点到超平面距离的公式推导

空间中任意一点到超平面距离的公式推导#

$$\frac {1} { ||w||} |w \bullet x_0 + b|$$

$$推导过程： 取点空间中一点x0,，超平面S：w∙x+b=0，其中x0,w,x均为N维向量;$$

$$设点x0到平面S的距离为d，点x0在平面S上的投影点为x1，则x1满足w∙x1+b=0;$$

$$因为向量x0x1→平行于S平面的法向量w，故有$$

$$|w \bullet \vec{x_0x_1}| = |w| |\vec{x_0x_1}| = \sqrt {(w^1)^2 + ... + (w^N)^2} d = ||w||d$$

其中

$$||w||$$

为向量w的

$$L_2$$

范数；又因为

$$w \bullet \vec{x_0x_1}= w^1x_0^1 + w^2x_0^2 + ... + w^Nx_0^N - (w^1x_1^1 + w^2x_1^2 + ... + w^Nx_1^N)$$

$$= w^1x_0^1 + w^2x_0^2 + ... + w^Nx_0^N - (w^1x_1^1 + w^2x_1^2 + ... + w^Nx_1^N)$$

$$= w^1x_0^1 + w^2x_0^2 + ... +w^Nx_0^2 - (-b)$$

$$= w \bullet x_0 + b$$

所以

$$|w \bullet \vec{x_0x_1}| = |w \bullet x_0 + b| = ||w||d$$

得：

$$d = \frac {1}{||w||} |w \bullet x_0 + b|$$