空间中任意一点到超平面距离的公式推导

空间中任意一点到超平面距离的公式推导

\[\frac {1} { ||w||} |w \bullet x_0 + b| \]

\[推导过程： 取点空间中一点x0,，超平面S：w∙x+b=0，其中x0,w,x均为N维向量; \]

\[设点x0到平面S的距离为d，点x0在平面S上的投影点为x1，则x1满足w∙x1+b=0; \]

\[ 因为向量x0x1→平行于S平面的法向量w，故有 \]

\[|w \bullet \vec{x_0x_1}| = |w| |\vec{x_0x_1}| = \sqrt {(w^1)^2 + ... + (w^N)^2} d = ||w||d \]

其中

\[||w|| \]

为向量w的

\[L_2 \]

范数；又因为

\[w \bullet \vec{x_0x_1}= w^1x_0^1 + w^2x_0^2 + ... + w^Nx_0^N - (w^1x_1^1 + w^2x_1^2 + ... + w^Nx_1^N) \]

\[= w^1x_0^1 + w^2x_0^2 + ... + w^Nx_0^N - (w^1x_1^1 + w^2x_1^2 + ... + w^Nx_1^N) \]

\[= w^1x_0^1 + w^2x_0^2 + ... +w^Nx_0^2 - (-b) \]

\[= w \bullet x_0 + b \]

所以

\[|w \bullet \vec{x_0x_1}| = |w \bullet x_0 + b| = ||w||d \]

得：

\[d = \frac {1}{||w||} |w \bullet x_0 + b| \]