SPFA 全面讲解
SPFA全面讲解
——最短路高效算法
标签: 最短路
简介:SPFA 是1994年在西安交通大学段凡丁同学所提出,是将Dijsktra以及Bellman-Ford两种最短路算法完美结合的一个算法,效率十分的高。全名为Shortest Path Faster Algorithm,简称SPFA。
首先,在下面的讲解中,我们要用到几个变量:
- n 表示一共有n个点。
- s 表示开始点。
- t 表示结束点。
- dist[MAXN]:d[i]表示从s到i的最短路径
- head[MAXN]:head[i]记录前驱。
- queue\(<int>\)q,也就是队列。
- flag[MAXN]:f[i]表示i在不在队列中
\(SPFA可以处理负权边!!\)
首先add一个邻接表以及一个用来搞邻接表的struct
struct point
{
int from;
int to;
int next;
int len;
}edge[MAXN];
int total=0;
void add(int f,int t,int l)
{
edge[total++].from=f;
edge[total].to=t;
edge[total].next=head[f];
edge[total].len=l;
head[f]=total;
}
首先,我们先处理初始化,顺带输入。。。
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
scanf("%d%d",&s,&t);
for(int i=1;i<=n;i++)
dist[i]=INF;
//预处理操作
{
dist[s]=0;//源点到源点的距离为0
q.push(s);//将源点入队
flag[s]=1;//表示s点已经在队列中
}
SPFA(s);
}
然后就是队列+松弛操作。
int SPFA()
{
while(!q.empty())
{
int cnt=q.front();
q.pop();
flag[cnt]=0;
for(int i=head[cnt];i;i=edge[i].next)
if(dist[edge[i].to]>dist[cnt]*edge[i].len)
{
dist[edge[i].to]=dist[cnt]*edge[i].len;
if(!flag[edge[i].to])
{
flag[flag[edge[i].to]]=1;
q.push(edge[i].to);
}
}
}
}
那么正式的讲解从现在开始!!
首先我们建一个图用来方便讲解。
Title:现在我们建图, 里面包含有a b c d e f g
a->b: 24
a->d:15
a->c:8
c->f:3
c->e:7
f->e:2
b->e:6
e->g:9
g->b:3
f->g:3
f->d:5
看不看得懂呢?~ ~ ~
然后我们假设a为s。
那么我们现在建立一个从起始点a到个点的最短路径表格。
a->a:0
a->b:∞
a->c:∞
a->d:∞
a->e:∞
a->f:∞
a->g:∞
然后按照我们的SPFA的顺序,首先a入队,然后判断到队列非空。
将队首元素a出队.
然后对以a点为起始点的所有边进行松弛操作(此处只有e点。)。
此时表格的状态为:
a->a:0
a->b:24
a->c:8
a->d:15
a->e:∞
a->f:∞
a->g:∞
在松弛的时候三个点的最短路径(估值)变小了,然后检测到这些点在队列中还都没有出现。于是入队,此时队列中有了三个点:b,c,d。
然后队首元素c出队.
对以c为起始点的所有边进行松弛操作。
此时表格的状态变为:
a->a:0
a->b:24
a->c:8
a->d:15
a->e:30
a->f:∞
a->g:∞
此时在列表中e的路径估值也变小了,而且e不在队列之中,于是e也入队,于是队列中的元素变成了c,d,e。
然后队首元素c再次出队.
对所有以c为起始点的边进行松弛操作。
此时表格又变了样子:
a->a:0
a->b:24
a->c:8
a->d:15
a->e:15
a->f:11
a->g:∞
看到了e和f的最短路径估值再次变小,但是e在队列中但是f不在,于是将f入队。
队首元素d出队
对以d为起始点的所有边进行松弛操作。
表格再次变化:
a->a:0
a->b:24
a->c:8
a->d:15
a->e:15
a->f:11
a->g:19
此时g的最短路径估值没有变小,于是松弛失败,没有新节点入队。于是接着取队首,f,g......
最后我们的表格变成了这个样子:
a->a:0
a->b:17
a->c:8
a->d:15
a->e:13
a->f:11
a->g:14
此时e的最短路径估值没有变化,于是松弛失败,此时队列为空,于是程序结束。
然后我们要求的dist[g]就是14。
\(_完美收工_\) \(_完美收工_\) \(_完美收工_\) \(_完美收工_\) \(_完美收工_\) \(_完美收工_\) \(_完美收工_\)
那么下面给大家出一道SPFA的模板题,(用来存代码(#滑稽)
若要看具体题面请看链接:传送门
题目描述:最短路
给定n个带权的有向图,,求1到n的最短的简单路径之积。
输入:
一共m+1行。
第一行:两个数n,m.分别表示点的总数以及边的总数。
第2到第m+1行:每一行三个数:分别为两个点以及连接这两个点的边权。
输出:
一行,共一个数:表示所求路径的边权之积mod 9987的值。
输入样例:
3 3
1 2 3
2 3 3
1 3 10
输出样例:
9
很明显的模板题了。下面是代码:
//Yeasion_nein
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define MAXN 10010
using namespace std;
int n,m,head[1000010];
int dist[1000010];
bool flag[1000010];
queue<int>q;
int total;
struct e
{
int next;
int to;
int from;
int len;
}edge[1000010];
void add(int f,int t,int l)
{
edge[total++].from=f;
edge[total].to=t;
edge[total].next=head[f];
edge[total].len=l;
head[f]=total;
}
int SPFA()
{
while(!q.empty())
{
int cnt=q.front();
q.pop();
flag[cnt]=0;
for(int i=head[cnt];i;i=edge[i].next)
{
if(dist[edge[i].to]>dist[cnt]*edge[i].len)
{
dist[edge[i].to]=dist[cnt]*edge[i].len;
if(!flag[edge[i].to])
{
flag[flag[edge[i].to]]=1;
q.push(edge[i].to);
}
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
dist[i]=0x7ffffff;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d",&x);
scanf("%d",&y);
scanf("%d",&z);
add(x,y,z);
}
dist[1]=1;
q.push(1);
flag[1]=1;
SPFA();
printf("%d",dist[n]%9987);
return 0;
}
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