信号调制数学原理

对于学工科的人来说，许多公式我们知道即可，不需要去深究其数学推导过程，这对于通讯深入理解非常重要，本文的一些文字和图片来源于互联网，本文仅用于学习记录和总结，也可能会有一些错误，如有侵权，请联系删除，欢迎指正。

混频

混频器（信号乘法器）是一个三端器件，两个输入一个输出，输出信号等于输入信号的乘积，时域的乘积对应于频域的卷积，过程可推算如下：

因此：

根据以上的公式我们理性的可以感觉到，一个信号X(t)和cos(wt)相乘，它的频谱被搬移到到了坐标系的双边上，中心频率为w，信号幅度为原来的一半，当和sin(wt)相乘时，正频率的幅度为其一半的相反数。如下图：

复数

复数最直观的理解就是旋转！

4*i*i = -4

就是“4”在数轴

上旋转了180度。

那么4*i就是旋转了90度。

复数最直观的理解就是旋转，乘i就是旋转了90度，i*i等于旋转了180度，

欧拉公式

以上为欧拉公式，我们可以这样理解，e^ix表示复平面的一个点，如下图

这个公式关键的作用，是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义：

变成了一个螺旋线。是不是和电磁场很像？

我们即可以让电场强度与复数磁场强度相加而不损失各自的信息，又满足了电场与磁场90度垂直的要求

欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

欧拉公式的另一种形式

 将以上两式相加再除2，得到：

 

这个式子可以怎么理解呢？
我们刚才讲过，e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！
举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。

调制

调制就是用基带信号去控制载波信号的某个或几个参量的变化，将信息荷载在其上形成已调信号传输。

而解调是调制的反过程，通过具体的方法从已调信号的参量变化中将恢复原始的基带信号。
根据所控制的信号参量的不同，调制可分为：
调幅AM，使载波的幅度随着调制信号的大小变化而变化的调制方式。
调频FM，使载波的瞬时频率随着调制信号的大小而变，而幅度保持不变的调制方式。
调相PM，利用原始信号控制载波信号的初始相位。
因为频率的改变，也会改变原先信号的相位，因此频率调制和相位调制，大多数时候，统称为角度调制

载波信号的类型

•    复指数信号：常用于基带数字调制
•    正弦余弦信号：常用于射频模拟调制
•    瞬间脉冲信号：常用于模拟信号转换数字信号
•    矩形脉冲信号：常用于基带数字调制，在移动通信系统中个，与复指数信号联合使用

调制的本质

•    时域：函数相乘
•    频域：频谱搬移

从时域的角度看调制，原始信号与载波信号的相乘。

从频域的角度看调制，原始信号的频谱搬移到载波信号的频谱附近

从时域的角度看解调：调制后信号与载波信号的相乘。

从频率的角度看解调：把载波频谱附近的原始信号的频谱搬移到原始信号的频谱附近

 

复指数载波信号

时域模型

频域模型

正弦波幅度调制与解调

 时域数学模型

频域模型

这里有一个奇怪的现象：就是单音载波信号cos(Wc*t)在频谱图上有对称的谐波频率，一个是Wc，一个是-Wc，其幅度都为π。

为啥不是一个Wc? 其频谱幅度为啥是π，而不是复指数的2π？

其实，这与傅里叶变换有关，傅里叶变换：

为了支持复指数运算

为了能够用谐波分量表示任何的时域信号，把频率域从正数域扩展到了负数 ，负频率与正频的区别是，逆时针选择时，频率表示正，瞬时帧旋转时，频率为复数。

基于上述两个原因，任何时域信号能够用支持负频率的复指数信号表示。

欧拉公式的第二种形式

一个实信号可以使用复指数信号表示，cosx和sinx的载波信号，可以分解成两个复指数信号的线性和

一个是正频率的复指数信号。

一个是负频率的复指数信号。

正弦波幅度解调缺点：调制后信号的带宽是原始时域信号带宽的2倍，包括正弦波的负频率和正弦波的正频率，其实，解调只需要一般就可了。

也就是说，利用正弦波调制是，调制后的信号中，信息是冗余的，在控制发送的电磁波信号的能量有多余的部分。

当然，可以通过带通滤波器或移相技术，实现单边带调制，来克服上述的问题。