生成函数应用

目录

• 生成函数应用

 

---

作者：@魔幻世界魔幻人生
本文为作者原创，转载请注明出处：https://www.cnblogs.com/subtlemaple/p/17300607.html

---

Top

生成函数应用

1. 二项式系数上指标扩展至整数域

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m-n-1}{m})$$

2. 常见生成函数

$G(x)$	$a_k$
$\frac{1}{1-x}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^k$	1
$\frac{1}{1-ax}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}^k{x}^k$	$a^k$
$\frac{1}{(1-x{)}^2}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(k+1)x^k$	$k+1$

3.应用

$\sum _{k=1}^6{a}_k=50,(a_i\ge 3,a_i\in Z)$，求解集个数。

$$\begin{array}{r}\\ & [x^{50}](\sum _{k=3}^{\mathrm{\infty }}{x}^k{)}^6\\ & =[x^{50}](\frac{x^3}{1-x}{)}^6\\ & =[x^{32}](1-x{)}^{-6}\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{-6}{32})\\ & =(\genfrac{}{}{0ex}{}{37}{32})\end{array}$$