01分数规划

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作者：@魔幻世界魔幻人生
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01分数规划

经典例题：POJ2976

给定 $n$ 个物品的价值 $a$ 和 花费 $b$ ，取其中的 $k$ 个物品，求 $\sum a[i]/\sum b[i]$ 的最大值。

题解：

假设 $\sum a[i]/\sum b[i]=x$ ,则：

当 $x$ 不是最优解时，$\sum a[i]/\sum b[i]\ge x$ 成立，则存在一种组合使 $\sum (a[i]-x\times b[i])>0$ 成立

为了尽可能让解更大，我们需要尽可能使该式成立，这样就可以继续找更大的解。

为了尽可能使该式成立，我们需要取最大的 $k$ 个 $(a[i]-x\times b[i])$ ，

若 $\sum (a[i]-x\times b[i])>0$ 成立， $x$ 就不是最优解 ；

也就是说不断二分 $x$ 的值，就可以找到最优解：

设 $cheknum=\sum (a[i]-x\times b[i])$ ,

若 $cheknum>0$ , 则 $x$ 可以更大

若 $cheknum=0$ , 则 $x$ 是最优解

若 $cheknum<0$ , 则 $x$ 需要更小

代码：

bool chek(int x)
{
    rep(i,1,n) c[i]=a[i]-x*b[i];
    sort(c+1,c+n+1,cmp);//从大到小
    int res=0;
    rep(i,1,k) res+=c[i];
    return res >= 0;
    
}

void solv()
{
    int l=0,r=maxx;
    while(r - l > eps)
    {
        double mid = (r+l)/2;
        if(chek(mid)) l=mid;//更大
        else r=mid;//变小
    }
    printf("%lf",l);
}