组合数学基本公式（附带几何意义讲解）

作者：@魔幻世界魔幻人生
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• $C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$
• $C_n^m=C_n^{n-m}$
  最基本的，不用多说
• $C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$
  相当于第 $n$ 个不选或选的区别
• $C_n^k{C}_k^m=C_n^m{C}_{n-m}^{k-m}$
  n 里直接取 m , 那剩下的 n 还要把剩下的 k 取完
• $k\times C_n^k=n\times C_{n-1}^{k-1}$
  直接推就行，几何意义笔者尚不理解
• $\sum _{i=0}^n(-1{)}^i{C}_n^i=0$
  根据第二条得来，且奇数下标之和等于偶数下表之和
• $\sum _{i=m}^n{C}_i^m=C_{n+1}^{m+1}$
  画出杨辉三角，$C_m^m=C_{m+1}^{m+1}$,然后就一层层加下去了
• $\sum _{i=0}^k{C}_n^i{C}_m^{k-i}=C_{n+m}^k$
  这个很好理解，把 k 份分配的所有可能加在一起
• $\sum _{i=a}^{n-b}{C}_i^a{C}_{n-i}^b=C_{n+1}^{a+b+1}$
  相当于把 $n$ 分成两份，一份取 $a$ 个一份取 $b$ 个, 那么想到隔板法，在 $n$ 里加一个隔板，隔板左边取 $a$ 个右边取 $b$ 个。