组合数学基本公式（附带几何意义讲解）

• \(C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)
• \(C_n^m=C_n^{n-m}\)
  最基本的，不用多说
• \(C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\)
  相当于第 \(n\) 个不选或选的区别
• \(C_n^kC_k^m=C_n^mC_{n-m}^{k-m}\)
  n 里直接取 m , 那剩下的 n 还要把剩下的 k 取完
• \(k\times C_n^k=n\times C_{n-1}^{k-1}\)
  直接推就行，几何意义笔者尚不理解
• \(\sum\limits_{i=0}^n(-1)^iC_{n}^i=0\)
  根据第二条得来，且奇数下标之和等于偶数下表之和
• \(\sum\limits_{i=m}^{n}C_i^m=C_{n+1}^{m+1}\)
  画出杨辉三角，\(C^m_m=C_{m+1}^{m+1}\),然后就一层层加下去了
• \(\sum\limits_{i=0}^kC_n^iC_m^{k-i}=C_{n+m}^k\)
  这个很好理解，把 k 份分配的所有可能加在一起
• \(\sum\limits_{i=a}^{n-b}C_i^aC_{n-i}^b=C_{n+1}^{a+b+1}\)
  相当于把 \(n\) 分成两份，一份取 \(a\) 个一份取 \(b\) 个, 那么想到隔板法，在 \(n\) 里加一个隔板，隔板左边取 \(a\) 个右边取 \(b\) 个。