【组合数学】错位排序

作者：@魔幻世界魔幻人生
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错位排序：编号为 $1$ 到 $n$ 的球装进编号 $1$ 到 $n$ 的盒子里，问每个球与它所在的盒子编号都不同的方案数。

公式：设 $D_n$ 表示 $n$ 个球的方案数，则：$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$ 。

证明：

设 $D_n$ 前的都已求出，现在装第 $n$ 个球：

规定 $n$ 号装进 $k$ 号盒子 ，再装 $k$ 号球：

• $k$ 号球一定装进 $n$ 号盒子，则剩余 $n-2$ 个球错位排序，共 $D_{n-2}$ 种
• $k$ 号球不能装进 $n$ 号盒子，则等价于 把 $n$ 号盒子当成 $k$ 号盒子 ，这就变成把 $n-1$ 个球错位排序，共 $D_{n-1}$ 种

而 $k$ 的范围是 $1$ 到 $n-1$，所以 $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$ ，证毕。