二分答案与二分查找

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作者：@魔幻世界魔幻人生
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二分答案与二分查找

一. 适用范围

​ 如果序列是有序的，就可以通过二分查找快速定位所需要的数据。除此之外，二分思想还能求出可行解的最值问题，如最小的最大值，最大的最小值等等

二.使用方式

​ 二分时首先要确定上下界 $leftbound$ 以及 $rightbound$ ，然后取其中间值 $middle$ , 通过 $check$

函数来用 $middle$ 更新上界或下界

两种不同的代码构造

void erfen()
{
    int l=0,r=1e10;
    while(l <= r)
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        if(check(mid)) ans = mid , l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }
    printf("%d",ans);
}

void erfen()
{
    int l=0,r=1e10;
    while(l + 1 < r)
    {
        int mid = (l + r) / 2;
        if(check(mid)) l = mid;
        eles r = mid;
    }
    printf("%d",l);
}

第一种方式：不使用上下界作为答案，而是在每一次 $mid$ 成立时刷新答案 $ans$ ，将 $mid$ 抛出 $l$ 和 $r$ 范围，$[l,r]$ 区间内的每个点都有成为答案的可能，所以只有在区间为空时跳出循环，即循环条件是 $l<=r$。

第二种方式：使用上下界作为答案，此时可以发现，$mid$ 成立时刷新的是 $leftbound$ ，而不成立时刷新 $rightbound$ ，$l$ 在答案内，$r$ 在答案外。所以答案区间是 $[leftbound,rightbound)$ 左闭右开区间。所以 $l<r$ 恒成立，当 $l+1==r$ 时，二分结果已经出现，此时跳出循环，输出 $l$ 作为答案。故循环条件是 $l+1<r$ 。

三.注意事项

​ 二分题目有时会精确到小数，此时最好使用第二种二分方式，为确保精度，设 $eps={10}^{-8}$ , 以 $r-l>eps$ 作为边界条件。此时要注意，$eps$ 精度不能过大，否则复杂度过高会TLE，一般选择 ${10}^{-6}$ 就可以了。

​ 切勿忘记开 long long , 任何题都一样

小数精度模板：

#define eps 1e-8
void erfen()
{
    double l=0,r=1e10;
    while(r-l > eps)
    {
        double mid = (l+r)/2.0; //除法要带小数点保精度
        if(check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }
    printf("%.10lf",l);
}