【中等】面试题 08.11-硬币

题目

硬币。给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)

示例1:

 输入: n = 5
 输出：2
 解释: 有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1

示例2:

 输入: n = 10
 输出：4
 解释: 有四种方式可以凑成总金额:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-lcci

解法

方法一：计算

解题思路

对于总价值n，当选择coin25个25面值硬币时，剩下rest=n-25*coin25就由剩下3种面值组成，当有coin10个10面值硬币时，剩下rest-10*coin10的价值就最多包含(rest-10*coin10)/5个5面值硬币，也就是(rest-10*coin10)/5+1种方法。

所以，当选择i个25面值硬币时，剩下的组成方法就是\(\sum_{a=0}^{coin10}(rest-10*a)/5+1\)

代码

class Solution {
public:
    int waysToChange(int n) {
        int coin25 = n/25;
        int res = 0;
        for(int i = coin25; i >= 0; --i){
            int rest = n-(i*25);
            int coin10 = rest / 10;
            res = (res + (long((rest)/5+1-coin10)*(coin10+1)%1000000007))%1000000007;
        }
        return res;
    }
};

方法二：动态规划

解题思路

思路1：直接分析

首先，如果硬币面值只有1的话，无论总价值多大，选取的方法一定只是1，因为每次只能选择面值为1的硬币，所以count[n]=count[n-1]=1；

如果新增一个5的硬币，当总价值n不大于5时，仍旧只能选择1的硬币，但是当不小于5时，如果手里已经有了n-5的硬币，那么除了保持全选1的方法之外，还可以直接拿一个面值为5的硬币，也就是说，如果总价为n-5时有t种方法，那么总价为n时，就新增了t种方法，对于其他的面值也是一样，如果新增面值为coin，那么状态转移方程即为count[n] = count[n] + count[n-coin]

思路2：动态规划套用

首先，找状态量，题目问什么什么就是状态，题目问的是4种硬币组成价值n的方法，包含三个物理量：硬币集合/价值/方法数，其中，方法数是优化方向，价值是有限有序状态，硬币集合也是有限有序状态，所以，想到使用硬币集合大小4*价值集合大小n的数组，也就是count[i][j]表示前i个硬币构成价值j的方法数

下一步寻找状态转移方程，首先执行搜索顺序一定是逐渐增加i后逐渐增加j，就是说对于任意count[i][j]，count[0...i-1][0...n]和count[0...i][j]是已知的，所以如果已知count[i][j-coin[i]]以及coin[i],那么count[i][j]种方法除了已知的count[i-1][j]种方法之外，一定包含count[i][j-coin[i]]种方法，也就是count[i][j] = count[i-1][j] + count[i][j-coin[i]]

代码

class Solution {
public:
    int waysToChange(int n) {
        vector<int> count(n+1, 1); // 只有1时有一种拿法
        int coin[4] = {5,10,25};
        for(int i = 0; i < 3; ++i){
            for(int j = coin[i]; j < n+1; ++j){
                count[j] = (count[j]+count[j-coin[i]])%1000000007; // 新增了新的面值
            }
        }
        return count[n];
    }
};