第一章绪论笔记1
一、复杂网络的结构特性
1. 度分布
- 一个节点的重要程度可以用和这个节点度相同的节点的数量Nk占所有节点数量TN的比例。形式化的表示为:P(k)=Nk/TN
- 网络的平均度:用网络度的一阶矩来表示,表示所有结点的度的平均值。形式化表示为:
=ΣkP(k),就是度和这个度的节点占全部节点的比例的乘积,然后求和。度分布的异质性可以用网络度分布的二阶矩来表示,
形式化描述为:<k²>=Σk²P(K)。就是度的平方和这个度的节点占全部节点的比例的乘积,然后求和。
2. 簇系数 - 簇系数表征了系统内成团特性,反映的是网络的聚合程度。簇系数的定义为:Ci=2Ri/{Ki(ki-1)}。其中,Ci为i结点的簇系数,Ki(ki-1)/2为连接度为ki的i节点的邻居结点之间相互连接的边的最大数量,
如果边数为Ki(ki-1)/2,说明节点i和他的Ki个邻居节点为全连接网络。Ri为实际连接这些节点的边的数量。整个网络的簇系数C=ΣCi/TN。当C=1,网络为全连接网络,C=0,所有结点都为孤立结点或星型结构。
3. 平均距离 - 最短距离dij:指的是从节点i到节点j所经过的最短路径上的边数。
- 网络的直径D:网络中连接两个节点的最长路径,D=maxdij
- 网络的平均距离:
,其中,N为无向网络的节点数。D为网络中任意两个节点之间的最短距离求平均值来获得的。
研究表明,实际的网络通常都具
有较短的平均距离。
4. 介数 - 介数Bi:网络中所有最短路径经过节点i的概论。用公式表示为:
,其中
指的是从节点u到v中经过i节点的最短路径的数量,
指的是所有从节点u到v的最短路径的数量。
二、网络结构的数学生成方法
- Cayley 方法 (! 没看懂,后续继续学习)
- Cayley 方法的特点:由Cayley方法得到的网络具有高对称性,因为它是基于群的概念得到。
- 群的基本概念: 非空集X和作用在它上面的二元运算○组成的代数结构
称为群。
○是某一种二元运算,可以是普通的加法、惩罚,也可以是modn加法等。
- 封闭性:即对于任意的x,y∈X,均满足x○y∈X。
- 结合律:对于任意的x,y,z ∈X,有
- 单位元:存在e∈X,满足对于任意的x∈X,
- 逆元:对于任意的x∈X,存在相应的y∈X,满足
,此时y称为x的逆元,记为
例如:
- 群的构造方法:
- 笛卡尔乘积方法
笛卡尔乘积方法是另一种有效的网络生成方法,它可以从指定的若干小网络(如环状网络)构造出较大网络。通过使用笛卡尔乘积方法构造出来的网络,由于将原有的小网络作为它的子网络,
必然会继承原先小网络所具有的连通性和正则性等网络特性。(小网络通过笛卡尔乘积方法构造出大网络,大网络会继承小网络的连通性和正则性)。
- 线图方法
由已知网络构造更大网络的一种重要方法。线图中的许多参数,例如点的度、连通性等都可以方便地从原图中导出。
三、常见的复杂网络模型
- 规则网络
规则网络被定义为一类具有度分布均匀,平均路径长度较长,平均路径长度和网络大小成比例等显著特点的复杂网络。 - 随机网络
- 定义:在随机网络中,节点之间是否进行连接是未知的,而且存在一定的概率关系。给定网络节点总数,网络中任意两个节点之间以一定的概率进行连边,连边概率的变化会直接影响到随机网
络的拓扑结构性质。 - 特点:簇系数小,平均路径长度短和接近于泊松分布的度等特征。泊松分布的概率函数为:
,
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。 - 构造方式:有N个孤立的点,这N个点最多有
条可能的连接,以一定的概论p在任意两个未连接
的节点之间建立一条连边,最终可以得到具有p条连边的随机网络。
- 小世界网络
大量的现实网络具有较短的网络平均路径,较高的聚类系数,以及指数分布的连接度等结构特征。Watts等[30]在1998年首次提出具有小世界效应的WS小世界网络模型。通过顺时针对最近邻耦合网络中的节点
进行“断边重连”操作,构造出WS小世界网络模型。该网络模型的平均路径较短且簇系数较大,更加符合现实世界中复杂网络的结构特征。
- WS小世界网络模型构造过程:
个人理解:在环形规则网络中遍历每一个节点,对于连接节点的每条边以概论p来决定是否进行断边重连,如果要断边重连,先断边,然后在整个网络中随机挑选一个节点连接,这个节点不能是本身,也不能出现重复连接。 - WS小世界网络模型生成示意图:
在WS小世界网络模型的建立过程中,由于使用随机重连的机制会在一定程度上损坏原有网络的连通性,从而导致网络中出现一些孤立节点。为了有效解决该问题,Newman等[31]在1999年进一步提出NW小世界网络模型,
原先在WS小世界网络中使用的随机重连机制被随机加边机制所替代,可以有效避免随机重连破坏原来网络的连通性。NW小世界网络模型的其它构造方法和WS小世界网络模型基本相同,下面详细介绍NW小世界网络模型的构造过程。 - NW小世界网络模型构造过程:首先,定义一个环形的规则网络,该网络具有N个节点,每个节点都只和它最近邻的k个节点相连;然后以一定的概率p对随机选取的两个未连接的节点进行连接。需要注意的是,在进行随机加
基于记忆与期望的网络演化博弈研究边的过程中,同样需要保证不能出现重复连边和自我连接的情况,即不能重复连接两个节点和不能用一条线连接某个节点自身。通过保证这两个约束条件,能够保证网络的连通性不会
遭到破坏。此外,当N足够大,p足够小时,WS小世界模型就等价于NW小世界模型。
个人理解:WS每个节点和K条边相连,系统以p的概率来断边重连。NW每个节点只和K个邻居节点相连,以概论p对随机选取的两个未连接的节点进行连接。 - NW小世界网络模型生成示意图:
- 无标度网络
- 特点:以真实重现大量真实网络的度分布的特征,从而解释了幂律分布的产生机理。
- 持续增长 :持续增长是指大部分真实网络的节点不是固定的,而是随着时间的演化,它们的规模会不断动态增大
- 优先连接:新增节点会优先与连接度比较大的节点进行连接。然而优先连接会导致连接度大的点会跟越来越多的节点连接,这也是造成无标度网络中有少量连接度很高的节点存在的原因。
- 构造算法:无标度网络模型的构造算法如下:在初始时刻,只有m0个连通的节点,即任意两个节点都进行连接,在之后的每个时间步中,都会有一个新的节点加入到现有网络中。新加入节点的m条边分别连接到网络中已经存在的m0个不同的节点上,且满足
。网络中旧节点是否会被连接的概率正比于该节点的度ki,形式化表示为
,这里N0表示当前系统的节点总数。通过这样的方式构造出来的无标度网络,在经过时间间隔t后,将会得到一个节点总数为
条边的网络。
- 不足和缺陷:
- 当网络演化的时间足够长时,会逐渐形成规模较大的网络,与此同时,网络中节点的度分布会呈现幂律分布,即:
,而实际复杂网络的幂指数的取值范围为:
。
- 随着网络规模的不断增大,无标度网络的簇系数也会逐渐趋近于零。