BZOJ 1977 严格次小生成树
小C最近学了很多最小生成树的算法，Prim算法、Kurskal算法、消圈算法等等。正当小C洋洋得意之时，小P又来泼小C冷水了。小P说，让小C求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说：如果最小生成树选择的边集是EM，严格次小生成树选择的边集是ES，那么需要满足：(value(e)表示边e的权值) \sum_{e \in E_M}value(e)<\sum_{e \in E_S}value(e)∑e∈EMvalue(e)<∑e∈ESvalue(e)
这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。
输出格式：
包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)
输入输出样例
输出样例#1：
11
题解：严格次小生成树和非严格次小生成树的思想其实差不多，无非是多维护一个u->v之间的次大值
然后这显然也是能用倍增维护的
如果把最大边拆去换成新边后整棵树仍是最小生成树，那么就换次大边用，再不对就不用
这样能保证求出的一定不是最小生成树，所以是严格次小的
代码如下：
#pragma GCC optimize(3) #include<vector> #include<cstdio> #include<cstring> #include<iostream> #include<algorithm> #define mp make_pair #define int long long #define pii pair<long long,long long> using namespace std; struct node { int from,to,cost; } e[500010]; int n,m,f[200010],ans,ans1,vis[200010],fa[19][200010],d1[19][200010],d2[19][200010],deep[200010]; vector<pii> g[200010]; int cmp(node a,node b) { return a.cost<b.cost; } void dfs(int now,int ff,int dep,int dis) { deep[now]=dep; d1[0][now]=dis; fa[0][now]=ff; for(int i=1; i<=18; i++) { fa[i][now]=fa[i-1][fa[i-1][now]]; } for(int i=1; i<=18; i++) { register int a[4]; a[0]=d1[i-1][now]; a[1]=d1[i-1][fa[i-1][now]]; a[2]=d2[i-1][now]; a[3]=d2[i-1][fa[i-1][now]]; sort(a,a+4); d1[i][now]=a[3]; d2[i][now]=a[2]; } for(int i=0; i<g[now].size(); i++) { if(g[now][i].first==ff) continue; dfs(g[now][i].first,now,dep+1,g[now][i].second); } } pii get1(int u,int v) { int di=0ll,di2=0ll; if(deep[u]<deep[v]) swap(u,v); for(int i=18; i>=0; i--) { if(deep[fa[i][u]]>=deep[v]) { register int a[4]; a[0]=di; a[1]=di2; a[2]=d1[i][u]; a[3]=d2[i][u]; sort(a,a+4); di=a[3]; di2=a[2]; u=fa[i][u]; } } if(u==v) return mp(di,di2); for(int i=18; i>=0; i--) { if(fa[i][u]!=fa[i][v]) { register int a[6]; a[0]=di; a[1]=di2; a[2]=d1[i][u]; a[3]=d1[i][v]; a[4]=d2[i][u]; a[5]=d2[i][v]; sort(a,a+6); di=a[5]; di2=a[4]; u=fa[i][u]; v=fa[i][v]; } } register int a[6]; a[0]=di; a[1]=di2; a[2]=d1[0][u]; a[3]=d1[0][v]; a[4]=d2[0][u]; a[5]=d2[0][v]; sort(a,a+6); di=a[5]; di2=a[4]; return mp(di,di2); } void init() { for(int i=1; i<=n; i++) { f[i]=i; } } int find(int x) { if(f[x]==x) return x; return f[x]=find(f[x]); } void unity(int i,int x,int y,int cost) { int fx=find(x); int fy=find(y); if(fx==fy) return ; ans+=cost; f[fy]=fx; g[x].push_back(mp(y,cost)); g[y].push_back(mp(x,cost)); vis[i]=1; } signed main() { scanf("%lld%lld",&n,&m); init(); for(int i=1; i<=m; i++) { scanf("%lld%lld%lld",&e[i].from,&e[i].to,&e[i].cost); } sort(e+1,e+m+1,cmp); for(int i=1; i<=m; i++) { unity(i,e[i].from,e[i].to,e[i].cost); } dfs(1,0,0,0); ans1=1e16; for(int i=1; i<=m; i++) { if(!vis[i]) { pii tmp=get1(e[i].from,e[i].to); int ans2=ans-tmp.first+e[i].cost; int ans3=ans-tmp.second+e[i].cost; if(ans==ans2) { if(ans<ans3) ans1=min(ans1,ans3); } else { ans1=min(ans1,ans2); } } } printf("%lld\n",ans1); }
