【数据结构】7.平衡搜索树（AVL树和红黑树）
0. 概述
对于普通的搜索树，如果一直插入比第一个元素小的元素，它会退化成一个无限向左下角眼神的单链表，使得时间复杂度退化为O(n)。如果我们在插入时保持树的结构是平衡的，则可以保证查找、插入和删除的时间复杂度有对数级的时间性能，下面讲到的AVL树和红黑树都是平衡搜索树，通过旋转来保持平衡
1. AVL树
1.1 定义
Adelson-Velskii 和 Landis 在 1962年提出的一种平衡树，保证搜索树的高度是O(logn)，这样就可以保证查找、插入和删除的时间为O(logn)
1.2 AVL树的描述
AVL 树一般用链表描述，为了简化插入和删除操作，为每个节点增加一个平衡因子 bf ，平衡因子 bf(x) 的定义为：x 的左子树的高度 - x 的右子树的高度
从 AVL 树的定义可以知道，平衡因子 bf 的取值为 -1、0 和 1
1.3 AVL树的搜索
与普通的搜索树相同，根据 theKey 不断向左孩子或右孩子移动寻找即可，时间复杂度为O(logn)
1.4 AVL树的插入
首先是区分4种旋转情况的代码，具体在1.4.1-1.4.4部分
template<class K, class V> bool avlTree<K, V>::insert(K key, V val) { // 1.根节点为空，直接插入 if (_root == NULL) { _root = new Node<K, V>(key, val); return true; } // 2.根节点不为空 else { Node<K, V>* cur = _root; Node<K, V>* parent = NULL; // 2.1)找到要插入节点的位置 while (cur!=NULL) { parent = cur; if (cur->_key > key) cur = cur->_left; else if (cur->_key < key) cur = cur->_right; else return false; //不允许出现重复元素的节点 } // 2.2)插入新节点 cur = new Node<K, V>(key, val); if (parent->_key > key) { parent->_left = cur; cur->_parent = parent; } else { parent->_right = cur; cur->_parent = parent; } // 2.3)插入完成后，调整平衡因子 while (parent!=NULL) { if (cur == parent->_left)//插入节点在左子树父节点bf++，反之-- parent->_bf++; else parent->_bf--; // 2.3.1)插入新节点后，双亲结点高度为0, 说明这个父节点原先已有一个孩子, 这次插入到另一个孩子的位置了, 树整体的高度无变化, 结束 if (parent->_bf == 0) break; // 2.3.2)插入节点后双亲节点高度为-1或1, 说明子树高度改变，则继续向上调整 else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1) { cur = parent; parent = parent->_parent; } // 2.3.3)插入节点后parent->_bf==-2||parent->_bf==2；说明已经不平衡，需要旋转 else { if (parent->_bf == 2) { if (cur->_bf == 1) rotateLL(parent); // parent(2), child(1) else rotateLR(parent); // parent(2), child(-1) } else { if (cur->_bf == -1) rotateRR(parent); // parent(-2), child(-1) else rotateRL(parent); // parent(-2), child(1) } break; } } return true; } }
1.4.1 LL型不平衡（单旋转）
插入前左子树高度比右子树高度高 1，然后在左子树的左侧插入一个新的元素，只需要一次 右单旋 就可以转为平衡搜索树。具体操作如下，根节点A的左孩子B转换为新的根节点，B的右孩子转换为A的左孩子
template <class K, class V> void avlTree<K, V>::rotateLL(Node<K, V>* parent) { Node<K, V>* subL = parent->_left; Node<K, V>* subLR = subL->_right; Node<K, V>* ppNode = parent->_parent; // 一共两步, 重新连接节点即可 parent->_left = subLR; // 1.当前 parent 节点的左孩子 改成 其左孩子的右孩子 if (subLR != NULL) subLR->_parent = parent; subL->_right = parent; // 2.把当前 parent 节点改成 subL 的右孩子 parent->_parent = subL; if (_root == parent) // 判断不平衡的点是不是根节点 { _root = subL; subL->_parent = NULL; } else { if (ppNode->_right == parent) { ppNode->_right = subL; } else { ppNode->_left = subL; } subL->_parent = ppNode; } subL->_bf = 0; parent->_bf = 0; }
1.4.2 RR型不平衡（单旋转）
插入前右子树高度比左子树高度高 1，然后在右子树的右侧插入一个新的元素，只需要一次 左单旋 就可以转为平衡搜索树。具体操作如下，根节点A的右孩子B转换为新的根节点，B的左孩子转换为A的右孩子
template <class K, class V> void avlTree<K, V>::rotateRR(Node<K, V>* parent) { Node<K, V>* subR = parent->_right; Node<K, V>* subRL = subR->_left; Node<K, V>* pParent = parent->_parent; // 一共两步, 重新连接节点即可 parent->_right = subRL; // 1.当前 parent 节点的右孩子 改成 其右孩子的左孩子 if (subRL != NULL) subRL->_parent = parent; subR->_left = parent; // 2.把当前 parent 节点改成 subR 的左孩子 parent->_parent = subR; if (parent == _root) // 判断不平衡的点是不是根节点 { _root = subR; _root->_parent = NULL; } else { if (pParent->_left = parent) pParent->_left = subR; else pParent->_right = subR; subR->_parent = pParent; } parent->_bf = 0; subR->_bf = 0; }
1.4.3 LR型不平衡（双旋转）
左子树高度更高的情况下，在左子树的右侧插入一个节点。首先进行一次 左单旋 ，将它转换为LL型不平衡，然后进行一次 右单旋 转换为平衡搜索树
template <class K, class V> void avlTree<K, V>::rotateLR(Node<K, V>* parent) { Node<K, V>* subL = parent->_left; Node<K, V>* subLR = subL->_right; int bf = subLR->_bf; rotateRR(parent->_left); rotateLL(parent); if (bf == 1) { parent->_bf = 0; subL->_bf = -1; subLR->_bf = 0; } else if (bf == -1) { parent->_bf = 1; subL->_bf = 0; subLR->_bf = 0; } }
1.4.4 RL型不平衡（双旋转）
与LR型不平衡类似，这里直接给出代码
template <class K, class V> void avlTree<K, V>::rotateRL(Node<K, V>* parent) { Node<K, V>* subR = parent->_right; Node<K, V>* subRL = subR->_left; int bf = subRL->_bf; rotateLL(parent->_right); rotateRR(parent); if (bf == 1) { subR->_bf = 0; parent->_bf = -1; subRL->_bf = 0; } else if (bf == -1) { parent->_bf = 0; subR->_bf = 1; subRL->_bf = 0; } }
2. 红黑树（red-black tree）
2.1 基本概念
红黑树是一棵扩充二叉树，每个空指针用一个外部节点来代替，除此之外还有以下性质
- 根节点和外部节点颜色都是黑色
- 在根节点到外部节点的路径上，没有连续两个节点是红色
- 在所有根节点到外部节点的路径上，黑色节点的数目都相同
红黑树一个节点的阶（rank）：从该节点到一外部节点的路径上黑色节点的数量
红黑树最大的高度是2log2(n+1)
2.2 RBT的搜索
与普通的搜索树相同，根据 theKey 不断向左孩子或右孩子移动寻找即可，时间复杂度为O(logn)
2.3 RBT的插入
我们的插入目标实际上是，和普通搜索树一样插入一个元素，然后再让它额外满足红黑树的性质。
2.3.1 情况一：变色处理
这种情况是最简单的情况，如果插入节点的叔叔节点（父亲的对称孩子）也是红色，则只需要进行变色处理
- 父亲节点和叔叔节点变为黑色
- 曾祖父节点变为红色
循环处理直到根节点为止，最后将根节点变为黑色结束
2.3.2 情况二：单旋加变色处理
如果新插入节点的叔叔为黑色，并且新插入节点在外侧
- 进行一次单旋转
- 把父亲节点更改为黑色，曾祖父节点更改为红色（最后这个三角形是黑色连两个红色）
2.3.3 情况三：双旋加变色处理
如果新插入节点的叔叔为黑色，并且新插入节点在内测
- 对父亲节点进行一次单旋转
- 对曾祖父节点进行一次单旋转
- 将新插入节点修改为黑色，曾祖父节点修改为红色（最后这个三角形是黑色连两个红色）
2.3.4 RBT插入的实现
2.3.4.1 对外暴露的插入函数
template <class K, class V> bool RBTree<K, V>::insert(K key, V val) { RBTNode<K, V>* z = NULL; if ((z = new RBTNode<K, V>(key, val, RED, NULL, NULL, NULL)) == NULL) return false; return insert(this->_root, z); }
2.3.4.2 按照普通的搜索树进行插入操作
template <class K, class V> bool RBTree<K, V>::insert(RBTNode<K, V>*& root, RBTNode<K, V>* node) { // 1.根节点为空，直接插入 if (root == NULL) { node->_color = BLACK; root = node; return true; } // 2.根节点不为空 else { RBTNode<K, V>* cur = root; RBTNode<K, V>* parent = NULL; // 2.1)找到要插入节点的位置 while (cur != NULL) { parent = cur; if (node->_key < cur->_key) cur = cur->_left; else if (node->_key > cur->_key) cur = cur->_right; else return false; //不允许出现重复元素的节点 } // 2.2)插入新节点 if (parent->_key > node->_key) { parent->_left = node; node->_parent = parent; } else { parent->_right = node; node->_parent = parent; } return insertFixUp(root, node); } }
2.3.4.3 插入完成后的颜色修正
template <class K, class V> bool RBTree<K, V>::insertFixUp(RBTNode<K, V>*& root, RBTNode<K, V>* node) { RBTNode<K, V>* parent, * grandparent, * cur; cur = node; parent = cur->_parent; // 若“父节点存在，并且父节点的颜色是红色” while (parent && rb_is_red(parent)) { grandparent = parent->_parent; //若“父节点”是“祖父节点的左孩子” if (parent == grandparent->_left) { RBTNode<K, V>* uncle = grandparent->_right; if (uncle && rb_is_red(uncle)) {// 情况1：叔叔节点是红色, 修改后继续检查 rb_set_black(uncle); rb_set_black(parent); rb_set_red(grandparent); cur = grandparent; parent = cur->_parent; } else {// 情况2: 叔叔节点不存在或者是黑色, 修改后结束循环 if (parent->_left == cur) {// 情况2.1：叔叔是黑色，且当前节点是左孩子 (单旋+变色) rightRotate(grandparent); rb_set_black(parent); rb_set_red(grandparent); } else {// 情况2.2：叔叔是黑色，且当前节点是右孩子 leftRotate(parent); rightRotate(grandparent); rb_set_black(cur); rb_set_red(grandparent); } break; } } else//若“父节点”是“祖父节点的右孩子” { RBTNode<K, V>* uncle = grandparent->_left; if (uncle && rb_is_red(uncle)) { rb_set_black(uncle); rb_set_black(parent); rb_set_red(grandparent); cur = grandparent; parent = cur->_parent; } else { if (parent->_right == cur) { leftRotate(grandparent); rb_set_black(parent); rb_set_red(grandparent); } else { rightRotate(parent); leftRotate(grandparent); rb_set_black(cur); rb_set_red(grandparent); } } } } // 将根节点设为黑色 rb_set_black(root); return true; }
