【深入理解计算机系统】2.信息的表示和处理
2.1 信息存储
机器级的程序将存储器视为一个字节数组，称为虚拟存储器（virtual memory）。存储器的每个字节都由一个唯一数字标识，称为该字节的地址（address），所有地址的集合称为虚拟地址空间（virtual address space）。
2.1.1 字
每台计算机都有一个字长（word size），指明整数和指针数据的标称大小（norminal size）。虚拟地址就是这么编码的，对于32位字长的计算机，限制了他的虚拟地址空间位232-1位4GB，对于64位字长的计算机，内存最大支持128G。
2.1.2 寻址和字节顺序
一个对象存储有大端法和小端法，最低有效位在最前面的方式被称为小端法，另一种称为大端法。许多芯片在加电启动时确定字节顺序规则。假设有一个0x1234567在地址范围0x100~0x103存储，顺序如下
| 大端法 | 0x100 | 0x101 | 0x102 | 0x103 | |
| ... | 01 | 23 | 45 | 67 | ... |
| 小端法 | 0x100 | 0x101 | 0x102 | 0x103 | |
| ... | 67 | 45 | 23 | 01 | ... |
2.1.3 布尔代数和环
"~"：逻辑运算NOT
"&"：逻辑运算AND
" | "：逻辑运算OR
" ^ "：异或运算EXCLUSIVE-OR，PQ为真但不全为真时成立
| ~ | & | 0 | 1 | | | 0 | 1 | ^ | 0 | 1 | ||||
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
2.1.4 位级运算
| C的表达式 | 二进制表达式 | 二进制结果 | C的结果 |
| ~0x41 | ~[01000001] | [10111110] | 0xBE |
| ~0x00 | ~[00000000] | [11111111] | 0xFF |
| 0x69&0x55 | [01101001]&[01010101] | [0100001] | 0x41 |
| 0x69 | 0x55 | [01101001] | [01010101] | [01111101] | 0x7D |
| x << k | 将x向左移动k位，丢掉k个最高位，右端补k个0 | ||
2.2 整数表示
一个整数数据类型有 w 位，可以写成[xw-1, xw-2, ..., x0]，可以得到无符号数的二进制表示形式（式1）
在计算机中希望使用二进制补码形式表现有符号数（负数），其中最高位解释为负权或符号位，正数的原码、反码、补码都相等，负数的反码是除符号位外取反，补码等于反码加1（式2）
| 数字 | 原码 | 反码 | 补码 | 直接计算 |
| -128 | 无 | 无 | 1000 0000 | -27= - 128 |
| -127 | 1111 1111 | 1000 0000 | 1000 0001 | -27+1=-127 |
| -10 | 1000 1010 | 1111 0101 | 1111 0110 | -27+26+25+24+22+21=-10 |
| 10 | 0000 1010 | 0000 1010 | 0000 1010 | 23+21=10 |
| 127 | 0111 1111 | 0111 1111 | 0111 1111 | 26+25+24+23+22+21+20=127 |
从这里理解有符号数和无符号数的映射，有符号数的正数部分对应了无符号数相同大小的正数部分，而有符号数负数的部分对应了更大的无符号数部分，反过来无符号数较大的部分会对应有符号数的负数
对于数字的截断，如果将一个32位整数截断到16位，会截断32位前面的16位，保留后面的16位
2.3 整数运算
2.3.1 无符号加法
无符号运算可以被视为一种模的运算。例如考虑一个四位数表示，x=9和y=12，[1001]和[1100]。它们的和是21，五位表示为[10101]，但如果截断最高位会得到[0101]，也就是5，这和 21 mod 16 = 5一致
2.3.2 二进制补码加法
二进制补码运算中存在移除情况，根据式2可以很好理解，0111 1111是正数最大值，而1000 0000是负数最小值，所以正数向上溢出后会是最小的负数，而负数向下溢出后是最大的正数
2.3.3 二进制补码的非
以8位举例说明，范围-128≤x<128中的每个数字都有一个逆元，对于x≠-128的时候，他的逆元就是-x（因为-128的逆元128没办法用这8位来表示）。
求逆元的方式是按位取反再加1，即-x = ~x+1。
2.3.4 乘法/除法和移位操作
以7位举例说明无符号数，对于范围0≤x,y≤127内的整数，x和y的乘积在取值范围0到127*127之间，但是最后只会保留后7位，所以实际上形成了一个环，计算实际上保留的是(x*y) mod 127
计算机中乘法指令一般需要12或更多的时钟周期，而加法减法只需要1个时钟周期，因此编译器一般会对常数乘法修改为移位运算
例如2*x就相当于x<<1，将x左移一位，而3*x就相当于(x<<1) + x，将x左移一位并在末尾+1，同理除法会做右移
| 数 | 计算 | 二进制表示 | 操作 | 新的二进制表示 | 最终得到 |
| 无符号 | 5 * 3 | 0101（补） | 左移 1 位并加他本身 | 1111（补） -> 1111（原） | 15 |
| 有符号 | 5 / 2 | 0101（补） | 右移 1 位（符号位不变，高位补0） | 0010（补）-> 0010（原） | 2 |
| 有符号 | -5 / 2 | 1011（补） | 右移 1 位（符号位不变，高位补1） | 1101（补）-> 1011（原） | -3 |
2.4 浮点数
2.4.1 二进制小数
12.3410表示数字1×101+2×100+3×10-1+4×10-2=12又(34/100)
10.1112表示数字21+0+2-1+2-2+2-3=2又(7/8)
注意二进制实际上只能准确表示可以写成x × 2y的数，比如准确表示21, 22, 2-1, 3*2-4, 对于1/5因为没有办法准确描述成前面的形式，所以没办法准确表示0.2
2.4.2 IEEE 浮点表示
IEEE 浮点标准用 V = (-1)s × 2E × M的形式来表示一个数，其中s表示正数或负数，M是一个二进制小数，范围在1~2-ε或0~1-ε之间，E表示对浮点数的加权
在C语言32位精度浮点数中，符号位1位，加权8位，小数域23位；64位浮点数的加权有11位，小数域有52位。
- 规格化值：对于指数位不全为0或全为1的情况，指数的值为 E = e - Bias（e为指数位的值，偏置Bias是2k-1），此时小数域定义位1,x,x,x,x，首位默认有一个1
- 非规格化值：对于指数全0的情况，指数值E = 1 - Bias，有效值M = f
- 特殊值：对于指数全1的情况，若小数域全0，表示无穷，s=0是正无穷，s=1是负无穷；如果小数域非全0表示NaN，比如√-1就是NaN
下面假设有一个8位浮点数，其中有k=4的指数位和n=3的小数位，Bias = 24-1 = 7，下表是8位浮点数的非负表示示例，完整读一遍就可以理解该表示了。可以发现定义非规格化的的偏置是1 - Bias，并且在规格化数的首位加1bit可以实现最大非规格化数到最小规格化数的平滑过渡，这7位可以表示的数实际上一共是非规格化数23个，规格化数23×(24-2)个，一共23×(24-1)个，本质上就是没有了指数位全1情况下的表示。而且这种在首位加1的方式实际上是因为全0表示的时候已经进了1位。
| 描述 | 位表示 | 指数值 | 偏置后指数值 | 小数域 | 有效小数值 | 实际值 | |
|
非 规 格 化 |
0 | 0 0000 000 | 0 | 1 - Bias = -6 | 0/8 | 0/8 | 0 |
| 最小的非规格化数 | 0 0000 001 | 0 | 1 - Bias = -6 | 1/8 | 1/8 | 1/8 * 2-6 = 1/512 | |
| 最大的非规格化数 | 0 0000 111 | 0 | 1 - Bias = -6 | 7/8 | 7/8 | 7/8 * 2-6 = 7/512 | |
|
规 格 化 |
最小的规格化数 | 0 0001 000 | 1 | e - Bias = -6 | 0/8 | 8/8 | 8/8 * 2-6 = 8/512 |
| 1 | 0 0111 000 | 7 | e - Bias = 0 | 0/8 | 8/8 | 8/8 * 20 = 8/8 | |
| 最大的规格化数 | 0 1110 111 | 14 | e - Bias = 7 | 7/8 | 15/8 | 15/8 * 214 = 240 | |
|
特 殊 值 |
无穷大 | 0 1111 000 | 符号位为0，指数位全1，小数位全0表示正无穷 | ||||
| NaN | 0 1111 010 | 指数位全1，小数位非全0表示NaN | |||||
2.4.3 浮点运算
IEEE标准定义+∞-∞=NaN，任何数+NaN都是NaN，其他情况就是正常的计算，但要注意大数吃小数的情况
举例3.14+1e10-1e10得到的将会是0，因为顺序计算第一次的时候3.14已经被精度问题舍入了，而3.14+(1e10-1e10)会得到正确的值，在判断值的大小进入函数体内的方法中需要注意
参考文献
深入理解计算机系统（第三版）
