P3235 [HNOI2014]江南乐 （整数分块+sg）

P3235 [HNOI2014]江南乐

https://www.luogu.com.cn/problem/P3235

题目描述

小A是一个名副其实的狂热的回合制游戏玩家。在获得了许多回合制游戏的世界级奖项之后，小A有一天突然想起了他小时候在江南玩过的一个回合制游戏。

游戏的规则是这样的，首先给定一个数F，然后游戏系统会产生T组游戏。每一组游戏包含N堆石子，小A和他的对手轮流操作。每次操作时，操作者先选定一个不小于2的正整数M (M是操作者自行选定的，而且每次操作时可不一样)，然后将任意一堆数量不小于F的石子分成M堆，并且满足这M堆石子中石子数最多的一堆至多比石子数最少的一堆多1（即分的尽量平均，事实上按照这样的分石子万法，选定M和一堆石子后，它分出来的状态是固定的）。当一个玩家不能操作的时候，也就是当每一堆石子的数量都严格小于F时，他就输掉。(补充：先手从N堆石子中选择一堆数量不小于F的石子分成M堆后，此时共有N+M-1)堆石子，接下来小A从这N+M-1堆石子中选择一堆数量不小于F的石子，依此类推。

小A从小就是个有风度的男生，他邀请他的对手作为先手。小A现在想要知道，面对给定的一组游戏，而且他的对手也和他一样聪明绝顶的话，究竟谁能够获得胜利？

输入格式

输入第一行包含两个正整数T和F，分别表示游戏组数与给定的数。 接下来T行，每行第一个数N表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后N个正整数，表示这N堆石子分别有多少个。

输出格式

输出一行，包含T个用空格隔开的0或1的数，其中0代表此时小A（后手）会胜利，而1代表小A的对手（先手）会胜利。

输入输出样例

输入

4 3
1 1
1 2
1 3
1 5

输出

0 0 1 1

说明/提示

对于100%的数据，T<100，N<100，F<100000，每堆石子数量<100000。

以上所有数均为正整数。

 

思路：假设当前子状态为石子有x个，分成m堆，很容易发现，x被分成a个石子数为x/m的和b个石子数为x/m+1的。求子状态的sg就是a个SG(x/m)和b个SG(x/m+1)异或的结果。由异或的定义，又可以化简为a%2个SG(x/m)和b%2个SG(x/m+1)的结果，就变成了判断奇偶的情况。

考虑最简单的枚举m。可以得到一个很简单（haodong）的写法。

int SG(int x)
{
    if(sg[x]!=-1) return sg[x];
    if(x<f) return sg[x]=0;//后手胜
    set<int> s;s.clear();
    fu(m,2,x)//枚举所有子状态
    {
        int re=x%m,tmp=0;
        if(re&1) tmp^=SG(x/m+1);
        if((m-re)&1) tmp^=SG(x/m);
        s.insert(tmp);
    }
    int res=0;
    while(s.count(res)) res++;
    return sg[x]=res;
}

由于这样写复杂度会达到O(n*m)，看到里面有x/m，可以考虑整数分块。

分块之后可以观察到在每个分块中奇偶情况时交替的，所以只需要讨论相邻2个数。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<deque>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<vector>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
//#include<bits/stdc++.h>
#define sd(x) scanf("%d",&x)
#define lsd(x) scanf("%lld",&x)
#define sf(x) scanf("%lf",&x)
#define ms(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define fu(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define all(a) a.begin(),a.end()
#define range(a,x,y) a+x,a+y+x
using namespace std;
using namespace __gnu_cxx;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
typedef pair<ll,ll> P;
const int N=1e5+99;
ll mod=2147493647;
const ll INF=1e15+7;
struct od
{
    int x,y,nod;
}e[N];
int t,f,ans;
int sg[N];
int SG(int x)
{
    if(sg[x]!=-1) return sg[x];
    if(x<f) return sg[x]=0;//后手胜
    set<int> s;s.clear();
    for(int l=2,r;l<=x;l=r+1)
    {
        r=x/(x/l);
        //在每个分块里，可以看出奇偶情况是交替的，只需讨论相邻两个数奇偶情况
        fu(m,l,min(l+1,x))
        {
            int re=x%m,tmp=0;
            if(re&1) tmp^=SG(x/m+1);
            if((m-re)&1) tmp^=SG(x/m);
            s.insert(tmp);
        }
        
    }
    int res=0;
    while(s.count(res)) res++;
    return sg[x]=res;
}
int main() 
{
    cin>>t>>f;
    ms(sg,-1);
    while(t--)
    {
        int n;cin>>n;
        ans=0;
        fu(i,1,n)
        {
            int x;cin>>x;
            ans^=SG(x);
        }
        if(ans) printf("1 ");
        else printf("0 ");
    }
    printf("\n");
    return 0;
}

在网上学习到一种优化的写法，vis[sg]=x。听说能快好多。

int SG(int x)
{
    if(sg[x]!=-1) return sg[x];
    if(x<f) return sg[x]=0;//后手胜
    for(int l=2,r;l<=x;l=r+1)
    {
        r=x/(x/l);
        //在每个分块里，可以看出奇偶情况是交替的，只需讨论相邻两个数奇偶情况
        fu(m,l,min(l+1,x))
        {
            int re=x%m,tmp=0;
            if(re&1) tmp^=SG(x/m+1);
            if((m-re)&1) tmp^=SG(x/m);
            vis[tmp]=x;//一种优化写法
        }
        
    }
    int res=0;
    while(vis[res]==x) res++;
    return sg[x]=res;
}