luoguP4098「HEOI2013」ALO

题目描述

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一个区间价值等于区间次大值与区间内任意值的异或，求可能的最大区间价值

\(n \leq 5 \times 10^4,a_i \leq 10^9\)

题解

提供一种更简单码农的做法:

首先做法很明显:固定次小值的位置 \(i\) ,找出次小值的确是这个数的所有区间,那么在可持久化 \(01Trie\) 上找到这些区间的并集就可以按位贪心了

一个结论:若 \(pr\) 为使 \([i,pr]\) 区间中至少有两个数大于 \(a_i\) 的最小位置, \(pl\) 为使 \([pl,i]\) 区间中至少有两个数大于 \(a_i\) 的最大位置,那么 \([pl,pr]\) 区间内的所有数都可以用来和 \(a_i\) 异或更新答案

那么我们先用单调栈扫一遍得到 \(i\) 左右第一个大于 \(a_i\) 的位置 \(ql,qr\) ,之后在 \([1,ql-1]\) 和 \([qr+1,n]\) 内二分,找出最靠近 \(i\) 的且满足 \(max([midl,ql-1]\text{ or }[qr+1,midr])>a_i\) 的位置 \(midl,midr\) 即为所求的 \(pl,pr\)

区间最大值用 \(st\) 表维护,复杂度为 \(O(nlogn)\) ,同时,如果用同样的二分代替第一次的单调栈可以简单地处理第 \(k\) 小的问题

\(code:\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
using namespace std;
const int maxn=5e4+5,D=29;
int n,root[maxn],tot,a[maxn],ans;
//29
struct Trie
{
	struct node{int ch[2],siz;}t[15000000];
	public:
	void upd(int &rt,int pre,int x,int d)
	{
		t[rt=++tot]=t[pre];++t[rt].siz;
		if(d<0)return;
		int k=(x>>d)&1;
		upd(t[rt].ch[k],t[pre].ch[k],x,d-1);
	}
	int qry(int rt,int pre,int x,int d)
	{
		if(d<0)return 0;
		int k=!((x>>d)&1);
		if(t[t[rt].ch[k]].siz>t[t[pre].ch[k]].siz)return (1<<d)|qry(t[rt].ch[k],t[pre].ch[k],x,d-1);
		return qry(t[rt].ch[k^1],t[pre].ch[k^1],x,d-1);
	}
}T;
int lh[maxn],rh[maxn];
stack<int>s;
int st[maxn][16],H=15,lg[maxn];
int mx(int l,int r)
{
	int k=lg[r-l+1];
	return max(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]),st[i][0]=a[i];
	for(int i=1;i<=n;++i)T.upd(root[i],root[i-1],a[i],D);
	for(int k=1;k<=H;++k)
		for(int i=1;i+(1<<k)-1<=n;++i)
			st[i][k]=max(st[i][k-1],st[i+(1<<(k-1))][k-1]);
	for(int i=2;i<=n;++i)lg[i]=lg[i>>1]+1;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		while(!s.empty()&&a[i]>a[s.top()])rh[s.top()]=i,s.pop();
		s.push(i);
	}
	while(!s.empty())rh[s.top()]=n+1,s.pop();
	for(int i=n;i>=1;--i)
	{
		while(!s.empty()&&a[i]>a[s.top()])lh[s.top()]=i,s.pop();
		s.push(i);
	}
	while(!s.empty())lh[s.top()]=0,s.pop();
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int l=rh[i]+1,r=n,mid,anss=n+1;
		while(l<=r)
		{
			mid=(l+r)>>1;
			if(mx(rh[i]+1,mid)>a[i])anss=mid,r=mid-1;
			else l=mid+1;
		}
		rh[i]=anss;
		l=1,r=lh[i]-1,anss=0;
		while(l<=r)
		{
			mid=(l+r)>>1;
			if(mx(mid,lh[i]-1)>a[i])anss=mid,l=mid+1;
			else r=mid-1;
		}
		lh[i]=anss;
		ans=max(ans,T.qry(root[rh[i]-1],root[lh[i]],a[i],D));
	}
	printf("%d\n",ans);
}