《深入理解计算机系统》第二章作业

1． 二进制与十六进制：

1． 十六进制数字：0 – F，例子：173A4C

2． 二进制数字：0 – 1，例子：0001 0111 0011 1010 0100 1100

3． 相互转换：十进制→ 十六进制：Mod（10，16）（倒序排列）

2． 字和数据大小：

1． 字长决定了系统虚拟地址空间的最大大小，对于典型32位机器而言，虚拟地址范围为0 - 2³²-1，程序最多访问2³²，所以32位机器支持最大内存为4G。

2． 一般数据类型的字节数，重点为指针类型的字节数为全字长。

3． 寻址和字节顺序：

分为大端法和小端法，IBM和Sun的个人计算机通常使用大端法。

4． 布尔代数与位级运算：

1． 基本位运算符：|（逻辑或），&（逻辑与），~（逻辑非），^（逻辑异或）

2． 重要结论：a^a = 0（通过异或交换两个变量的值）

5． 移位运算及其重要结论：

操作	值
参数X	[01100011] [10010101]
X << 4	[00110000] [01010000]
X >> 4 （逻辑右移） → 左端补0	[00000110] [00001001]
X >> 4 （算数右移） → 左端补有效位	[00000110] [11111001]

6． 整数的表示：

1． 无符号数的编码：假设一个整形数据有位，向量是其二进制表示，则有：

 

2． 补码的编码：假设一个整形数据有位，最高位为符号位，解释为负权，则有：

 

3． 有符号数与无符号数之间的转换：（结论证明略）

 

 

             w11 1010 0100 1100

 

 

4． 截断数字：将w位的数字截断为一个k位数字时，我们会丢弃高w-k位，例如将32位的int转换为16位的shor时，会舍弃前16位，对于一般情况，有以下公式：

 

7． 整数运算：

1． 无符号数的加法：

 

重要结论：模数加法形成了阿贝尔群，可交换结合，每个元素都有一个加法逆元。

2． 补码加法：

 

3． 补码的非：

 

4． 无符号乘法：

 

5． 补码乘法：

重要结论：设为二进制表示的无符号整数，对于任意k0,有以下公式：

 

即：一个二进制表示数乘以，相当于在位模式右边补了k个0（不溢出的情况），相当于一种移位操作，C表达式中x << k等价于 x * pwr2k，许多C语言编译器视图以移位，加法和减法的组合来消除很多整数乘以常数的情况。

例如：x*14，利用等式14=，编译器将乘法重写为(x<<3)+(x<<2)+(x<<1)，实现将一个乘法替换为三个移位运算和三个加法，减少时钟周期提高运算效率。

6． 补码除法：

1． 向零舍入：即乘法的逆运算，执行算数右移k位即除以，因为移位导致结果向下舍入，根据向零舍入的要求，通过偏置， = 可以得到正确的舍入结果。

8． 浮点数的IEEE表示：

1． IEEE浮点表示：

1． 符号：s通过其值1负和0正决定V的正负，对于V=0另作解释。

2． 尾数：M是一个二进制小数，它的范围是1 – 2-ε，或者0 – 1-ε

3． 阶码：E的作用是对浮点数加权，权重是2的E次幂（可能是负数）

2． 通过将浮点数的位划分为3个字段，分别进行编码，类似科学计数法。

1．1个单独的符号位s，直接编码符号s

2．k位的阶码字段，exp=ek-1···e0，编码解码E

3．n位的小数字段，frac=fn-1···f0，编码尾数M，但是该值依赖于E是否为0

3． 浮点表示的三种情况：

1、 规格化的值

普遍情况，当exp不全为0，也不全为1，此情况解码以偏置形式表示有符号整数，即E = e – Bias，e是无符号数，e表示为阶码位的编码ek-1···e0，而Bias是一个等于(单精度k=8，双精度k=11)的偏置值，由此产生指数的取值范围即：（单精度-126～+127，双精度-1022～+1023），对于frac解释为描述小数值f，期中0≤f＜1，其二进制表示为0.fn-1···f0，当尾数定义为M = 1+f时，叫做隐含以1开头的表示，所以M = 1.fn-1···f0，因为二进制的基数是2，且我们总能在不溢出的范围内调整阶码，使得尾数M的范围总在1≤M＜2中，符合IEEE定义M的范围，从而表示小数。

2、 非规格化的值

当阶码exp域全0，阶码值为E = 1-Bias，而尾数值为M = f，不包含隐含开头都 1（为什么），非规格化的值用来表示0和非常接近0的小数，因为规格化要求M≥1，所以无法表示0，实际上+0.0的浮点表示位模式全0，而当符号位为1时候得到-0.0，逐渐溢出的属性使得数值均匀的接近0.0（？）

3、 特殊值

当阶码exp域全1，当frac全0表示无穷，根据符号位的表示的正负来确定正负无穷，无穷能表示溢出的结果，当小数域非零时，NaN被称为不是一个数的缩写，一些运算结果为虚数，无法表示。

9． 浮点表示的整数与补码表示整数之间的关系：

以十进制数12345为例，其补码二进制表示为[00000000000000000000001100000011 1001],用IEEE浮点型表示，将小数点左移13位，得到12345 = 1.1000000111001₂,丢弃开头1，由于32位s=1，k=8，n=23，所以在末尾追加10个0，得到[10000001110010000000000]，即frac字段，因为E = e – Bias，即e = 13 + 127，得其阶码二进制表示为10001100，加上符号为0，得到单精度12345二进制表示为[01000110010000001110010000000000]，与[000000000000000000000011000000111001]在红线处相同，这说明相关区域对应整数低位，恰好在等于1的最高位之前相同，因为此标准略去开头位1，其余部位都是相配的。

10．舍入规则：

向偶数舍入：使得最低有效位为偶数的舍入方法，来确定浮点数的近似值（IEEE默认）

11．浮点运算：

1、 IEEE定义简单规则：把浮点值x,y看成实数，某个运算⊙定义在实数上，算数计算产生Round（x⊙y），其结果对精确结果进行了舍入。

2、 浮点运算因为精度受限不满足结合律，例如：(3.14+e¹⁰)-e¹⁰=0.0,3.14+(e¹⁰-e¹⁰)=3.14,这是浮点运算构成代数系统最缺少的群属性。

3、 浮点数满足单调性属性，如果有a≥b，则有x + a≥x + b（？）

4、 C语言虽然有float和double类型，但是未明确要求机器满足IEEE标准。