图论学习笔记（二）

【图的连通性】

1、回路：起点与终点相同，长度大于0。

不必区分多重边时，可以用相应顶点的序列表示通路。

长度为0的通路由单个顶点组成。

简单通路：边不重复

初级通路：点不重复（路径）

（记忆小技巧：“初级”比“简单”更低等，因此，初级的范围更小）

2、同构图的不变量：长度为k的回路的存在性√

3、无向图的连通性：如果任意两个顶点均连通，则称该无向图连通

连通分支：“顶点之间存在通路”是一个等价关系，任一等价类上的导出子图即为一个连通分支。

4、（⭐）割点：删除该点会增加连通分支的个数（割边同理定义）

关于割边的一个重要定理：e是割边当且仅当e不在G的任一简单回路上（证明较简单，略）

（注：割边显然要比割点更强，因为割边在图中仅仅删除一条边，而割点至少要删去两条边。）

5、图的连通度

定义：使非平凡连通图G成为不连通图或者平凡图需要删除的最少顶点数称为图G的(点)连通度，记为κ(G)

（敲黑板：“最少”，说明连通度仅仅只是一个最优情况，对于任意k个顶点不一定成立）

约定：不连通图或平凡图的连通度为0，而κ(Kn)=n-1，若图G的连通度不小于 k, 则称G是k-连通图

6、（⭐）连通度的上限：若图G是非平凡的, 则k(G)<=lamda(G)<=G的最小度数。

（后方的不等式很显然，对于前方的不等式，可以想象，删去一个顶点至少可以删去一条边。因此，删除边的成本要更大一些，因此该不等式成立。或者换一种思路，可以将所有的割边和其对应的顶点聚拢为一个集合，集合之外的图形必然是不连通的，而对于集合内部，删除边的成本显然更高。因此，lamda(G)>=k(G)）

[ps:达到连通上限的图]

 

 

7、Whitney定理：

图G(|G|>=3)是2-连通图，当且仅当G中任意两点均处在同一初级回路中

Menger定理（Whitney定理的推广）

--图G是k-连通图 当且仅当 G中任意两点被至少k条除端点外顶点不相交的路径所连接。

--图G是k-边连通图 当且仅当 G中任意两点被至少k条边不相交的路径所连接。

 

8、二连通图（H-path那部分还没有搞懂...笔者还需仔细拜读一番，搞懂了就会更新了...）

 

9、有向连通图

弱连通/强连通

强连通的判定定理：有向图D是强连通的当且仅当D中的所有顶点在同一个有向回路上。

 

未完待续...(还会继续修改的)